Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.
У термінах диференціальних форм теорема записується формулою
![{\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9f0429082b8a01de584ba4925abaf1b2c6afb2)
тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми
по області
дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.
Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле
в
-мірному просторі, в якому задана система координат
. Якщо в цьому просторі заданий контур
(замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид
, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контуру з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:
![{\displaystyle (1)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}{\text{rot}}\;\mathbf {a} \;d\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3468a3cfa05309776e76e5c651036586a243a8)
або в координатах:
![{\displaystyle (1a)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i})\;d\sigma ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b97e8731e13ff5b1216bda6b8ad7ce718bd7636)
Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини (
) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях (
— є частиною площини, обмеженою контуром):
![{\displaystyle (2)\qquad \oint _{L}Pdx+Qdy=\iint _{S}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12346ed3e89651a2d03045233b771174493abff)
Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат
з правою орієнтацією. Ротор вектора
можна позначати вектором з координатами:
![{\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{x}=(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {a} )_{x}=\nabla _{z}a_{y}-\nabla _{y}a_{z}=\partial _{z}a_{y}-\partial _{y}a_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252829972d254ba350dec713fc5cd3760717af81)
![{\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{y}=\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297776ef7cf55abfc1173052fc64a6119c07a87a)
![{\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{z}=\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd548a534233ef5a0c178e3c1f7b9b28d4d03cea)
Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі
. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:
![{\displaystyle (3)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}({\text{rot}}\;\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731c63fc953e1f2a0021fe491e2fa5e8cd847a93)
Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проєкціям контуру:
![{\displaystyle (4)\qquad \oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz=\iint (\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})dxdy+\iint (\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y})dydz+\iint (\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})dxdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532d9efe91b4088dda2d99a51bc651f1a6fc7373)
Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.
Розглянемо в
-мірному просторі криву
, (параметр
пробігає значення від нуля до одиниці
), що сполучає дві точки
(при
) і
(при
). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал
, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру
):
![{\displaystyle (5)\qquad \Phi =\int _{P}^{Q}a_{i}dx^{i}=\int _{0}^{1}a_{i}{\dot {x}}^{i}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5834ff63cfa2f4e530b7d1587d73340fff77c0b)
Тепер розглянемо близьку криву
, яка сполучає ті самі точки
і
. Варіація кривої
на кінцях перетворюється в нуль:
. Варіація функціоналу дорівнює:
![{\displaystyle (6)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\delta (a_{i}{\dot {x}}^{i})dt=\int _{0}^{1}\delta (a_{i}){\dot {x}}^{i}dt+\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d14e4cb9e6ce00939ec4e9a708883e48cc245b3)
В першому інтегралі компоненти векторного поля
залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі
):
![{\displaystyle \ a_{i}=a_{i}(x^{1}(t),x^{2}(t),\dots x^{n}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17566929ea2825acf002377c6b48c898f77a37f)
тому варіація векторного поля дорівнює:
![{\displaystyle \delta a_{i}={\partial a^{i} \over \partial x^{j}}\delta x^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de3ec47868b267167727c5be3912b43e1117128)
В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt=a_{i}\delta x^{i}{\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{da^{i} \over dt}\delta x^{i}dt=-\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}{\dot {x}}^{j}\delta x^{i}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbd01311a0111576e109eff432898ec6cb4b23d)
Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:
![{\displaystyle (7)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7d3d3b2ef14b30f32ebee10190d24fc6d6d6e2)
де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:
![{\displaystyle d\sigma ^{ij}=({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=dx^{i}\delta x^{j}-dx^{j}\delta x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1689be9c32499c3a6056c84e6d69a27b8820eb)
Цей паралелограм побудований на векторах
. Дві вершини цього паралелограма (
) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (
) на близькій кривій.
Оскільки тензор
антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:
![{\displaystyle (8)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}=-\int _{0}^{1}{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}d\sigma ^{ij}={1 \over 2}\int _{0}^{1}({\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}})d\sigma ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80760566dc7307328e88b29872c5f2621fe89791)
Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:
![{\displaystyle {\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}=(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})-(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})=\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597d52f1d227147c22402450864234f6a7d5e331)
Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні (
), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник
.
![{\displaystyle (9)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc441407f1e6e9db3ba7e4fa8f65d21496d94be)
Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса.
На замкнутому контурі
візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань)
і
. Контур розіб'ється на дві різні криві
i
, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки
до точки
. Тоді символічно можна записати:
![{\displaystyle L=L_{1}-L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76105a0f47f1fcc91910058d4297ac5cff677db7)
і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.
![{\displaystyle (10)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\int _{L_{1}}a_{i}dx^{i}-\int _{L_{2}}a_{i}dx^{i}=\Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c0c0ff2ab154163d5e13de1ccdf4fa957bd393)
Тепер розглянемо двомірний многовид
, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на
, почавши з кривої
, і закінчуючи кривою
(проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:
![{\displaystyle (11)\qquad \Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})=\int _{L_{2}}^{L_{1}}\delta \Phi =\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8878e5d9406888fe5f7f42f24829de287cbd4)
Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.