Спонтанне порушення симетрії

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація механізму спонтанного порушення симетрії. Система може самодовільно звалитися в будь-яку з двох потенціальних ям.

Спонтанне порушення симетрії — самодовільний перехід фізичної системи у стан із меншою симетрією, який, проте, відповідає меншому значенню термодинамічних потенціалів, наприклад, енергії або вільної енергії Гельмгольца.

Спонтанне порушення симетрії відбувається випадковим чином і зумовлене флуктуаціями. Це явище поширене в природі. Наприклад, при конденсації рідини, яка характеризується найвищою ізотропною симетрією, утворюється кристал, у якому існують певні виділені напрямки відносно кристалічних осей. Орієнтація кристалічних осей у загальному випадку випадкова або зумовлена слабкими зовнішніми факторами. Аналогічним чином, при переході від парамагнітного стану до феромагнітного, орієнтація домена теж випадкова.

Спонтанне порушення симетрії також відбувається, мабуть, на найфундаментальнішому рівні: в теорії слабкої взаємодії. Слабка взаємодія не зберігає парність. Стандартна модель, яка нині має статус загальноприйнятої, приписує це порушення парності гіпотетичній частинці: бозону Гіґґза. У 2008 році американець Йоїтіро Намбу отримав Нобелівську премію з фізики за пояснення механізму спонтанного порушення симетрії разом з японцями Кобаясі Макото та Масукава Тосіхіде, яким належить відкриття природи порушеної симетрії.

Спонтанне порушення калібрувальної симетрії[ред.ред. код]

Порушення глобальної калібрувальної симетрії[ред.ред. код]

В теорії поля зазвичай розглядають динаміку поля в околі вакуумного стану (мінімуму потенціальної енергії), вважаючи самі поля малими. На практиці, це веде до розкладу в ряд Тейлора функції Лагранжа відповідного поля в околі мінімуму потенціальної енергії і нехтування вищих по степенях поля доданків в розкладі. При цьому важливим є вибір вакууму, який не завжди є однозначним.

Наприклад, розглянемо лагранжіан комплексного (зарядженого) поля Кляйна-Гордона \varphi=u+iv, де u,\;v є дійсними полями

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu\varphi^*\partial_\mu\varphi-V(\varphi^*\varphi)=\frac{1}{2}\partial^\mu u\partial_\mu u + \frac{1}{2}\partial^\mu v\partial_\mu v-V(u^2+v^2),

де V — потенціал взаємодії. Цей лагранжіан є інваріантним відносно глобальних калібрувальних перетворень

\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi,\quad
\left|\left|\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right|\right|\rightarrow
\left|\left|\begin{array}{cc}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right|\right|
\left|\left|\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right|\right|,

де \alpha є дійсною константою. При пошуку мінімуму потенціалу  V може виявитися, що вакуум не є інваріантним відносно даних калібрувальних перетворень. Така ситуація має місце в тому випадку, коли функція V(x) має мінімум в точці відмінній від нуля.

Справді, якщо V(x) має мінімум в нулі, тоді точці вакууму однозначно відповідає u=0,\;v=0. Зовсім інша ситуація є у випадку, коли x_{min}=a^2\neq0. В цьому випадку мінімуму потенціалу відповідає не одна точка, а континуум точок

u^2+v^2=a^2.

Відповідним вибором системи координат простору зарядових ступеней вільності поля Кляйна-Гордона завжди можна привести вакуум до вигляду

\varphi_0=\left|\left|0, a\right|\right|^T.

Легко бачити, що хоча лагранжіан (в тому числі і наближений) є інваріантний відносно калібрувальних перетворень, вакуум таким вже не є. В цьому і полягає спонтанне порушення глобальної калібрувальної симетрії.

Нагадаємо, що калібрувальні перетворення утворюють групу Лі, причому компактну. Розглянемо лагранжіан

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu\varphi_i\partial_\mu\varphi^i-V(\varphi_i),

де \varphi_iN скалярних дійсних полів. Нехай лагранжіан інваріантний відносно перетворень \omega_i^j калібрувальної групи G

\varphi_i=\omega_i^j\varphi_j.

Випадок інваріантного вакууму.[ред.ред. код]

Якщо V має мінімум в точці \varphi_i=0, то легко бачити, що вакуум є інваріантний відносно усіх калібрувальних перетворень (дія будь-якої матриці на нульовий вектор дає знову нульовий вектор). В такому випадку можна розкласти V в ряд Тейлора в околі нуля. Припускаючи, що V(0)=0, а також враховуючи, що перші похідні в точці екстремуму рівні нулю, а матриця других похідних (m^2)^{ij}=\frac{\partial^2V}{\partial\varphi_i\varphi_j}(0) в точці мінімуму є додатно визначеною, отримаємо

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu\varphi_i\partial_\mu\varphi^i-\frac{1}{2}(m^2)^{ij}\varphi_i\varphi_j+\mathcal{O}(\varphi^3).

Здійснюючи відповідне ортогональне перетворення \varphi_i'=O_i^j\varphi_j можна масову матрицю m^2 привести до діагонального вигляду. Таким чином отриманий лагранжіан описуватиме N дійсних скалярних полів з масами, які визначаються власними значеннями матриці m^2.

Випадок неінваріантного вакууму.[ред.ред. код]

Зовсім іншою є ситуація, коли потенціал V має мінімум не в нулі. В такому випадку завжди існує довільність у виборі вакуумного стану. Вакуум буде інваріантний лише відносно певної підгрупи H калібрувальної групи G. Групу H\subset G називають малою групою. Відбувається порушення локальної симетрії калібрувальної групи G. Розглянемо приклад порушення глобальної симетрії, що задається калібрувальною групою тривимірних поворотів SO(3) (SO(3)), в лінійній сигма-моделі.

В загальному можна показати, що має місце

Теорема Голдстоуна. При спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії виникають \dim G - \dim H безмасових скалярних полів \phi_i та N-(\dim G-\dim H) масивних скалярних полів \tilde{\phi}_i. Тут N є вимірністю вибраного представлення G (фактично початкова кількість дійсних скалярних полів).

При цьому безмасові поля, які виникають при спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії називаються бозонами Голдстоуна.

Порушення локальної калібрувальної симетрії[ред.ред. код]

Докладніше: Механізм Гіґґза

Локальні перетворення відрізняються від глобальних наявністю координатної залежності \alpha=\alpha(x). Така залежність приводить до виникнення в лагранжіані калібрувальних полів (у випадку зарядженого поля Кляйна-Гордона -- електромагнітного поля з групою симетрії U(1), при розгляді трикомпонентного вектора скалярних полів з групою симетрії SO(3) -- калібрувального поля, яке можна ототожнити з глюонним полем сильної ядерної взаємодії, тощо). Спонтанне порушення локальної калібрувальної симетрії веде до набуття калібрувальними полями мас (нагадаємо, що масові доданки для калібрувального поля не є калібрувально інваріантними, тому в лагранжіані поля вони відсутні). Такий механізм носить назву механізму генерації мас Хіггса.

Розглянемо лагранжіан

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\mathcal{D}^\mu\varphi_i\mathcal{D}_\mu\varphi^i-V(\varphi_i)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{\mu\nu}_a,

де \varphi_i — набір N скалярних полів, F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A_\mu^a+\left[A_\mu,A_\nu\right]^a -- тензор відповідного калібрувального поля, \mathcal{D}_\mu\varphi_i=\partial_\mu\varphi_i+(A_\mu)^j_i\varphi_j -- коваріантна похідна (векторний потенціал в загальному є матрицею, яка діє на векторний стовпець \varphi=\mid\mid\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_N\mid\mid^T). Індекс a пробігає значення від 1 до \dim G і нумерує компоненту розкладу потенціалу по генераторах групи симетрії, там де це не приводить до неоднозначностей індекс a писати не будемо. Цей лагранжіан є інваріантним відносно локальних калібрувальних перетворень \omega^i_j=\omega^i_j(x), що утворюють групу G. Поля при калібрувальних перетвореннях перетворюються наступним чином

\varphi_i\rightarrow\omega_i^j\varphi_j,\qquad A_\mu\rightarrow\omega A_\mu\omega^{-1}+\omega \partial_\mu\omega^{-1}.

Випадок інваріантного вакууму.[ред.ред. код]

Якщо мінімум V реалізовується при \varphi_i=0, то в такому випадку можна розкласти лагранжіан в ряд Тейлора в околі вакууму і отримати в квадратичному наближенні лагранжіан

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu\varphi_i\partial_\mu\varphi^i-\frac{1}{2}(m^2)^{ij}\varphi_i\varphi_j-\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)^2+\mathcal{O}(\varphi^3,\varphi^2A,\varphi A^2,A^3),

який описує N масивних скалярних полів, та \dim G безмасових калібрувальних векторних полів A_\mu^a.

Обчислимо число польових ступенів вільності набору цих полів. Оскільки скалярне поле має одну ступінь вільності, а безмасове векторне поле — дві, то сумарна кількість ступенів вільності рівна N+2\dim G.

Випадок неінваріантного вакууму.[ред.ред. код]

Основна відмінність порушення локальної симетрії від глобальної полягає в залежності калібрувальної константи \alpha від координат x^\mu. Ця координатна залежність дозволяє відповідним вибором \alpha(x) занулити поля \varphi_i всіх \dim G - \dim H безмасових голдстоунівських бозонів в усьому просторі. Таке калібрування називається унітарним. Однак це калібрування приводить до появи в лагранжіані масових доданків типу  a^2 A^\mu A_\mu, які однак є калібрувально інваріантними. При унітарному калібруванні масові доданки виникають рівно для \dim G - \dim H калібрувальних полів. Ці поля називають бозонами Хіггса. Оскільки унітарним калібруванням знищуються бозони Голдстоуна, а виникають масивні калібрувальні бозони, то часто кажуть, що векторні поля "з'їдають" голдстоуни і отримують масу. Кількість полів, які отримуються в результаті спонтанного порушення локальної калібрувальної симетрії визначається з

Теорема Хіггса. При спонтанному порушенні локальної калібрувальної симетрії присутні N-(\dim G - \dim H) масивних скалярних полів, \dim G-(\dim G - \dim H)=\dim H безмасових векторних полів, а також \dim G - \dim H масивних векторних полів.

Знайдемо кількість польових змінних в такій системі. Враховуючи, що масивне поле володіє трьома ступенями вільності, сумарна кількість польових ступенів вільності рівна N-(\dim G-\dim H)+2\dim H + 3(\dim G - \dim H) = N+2\dim G, що співпадає з результатом для інваріантного вакууму.

Зауважимо також, що унітарне калібрування залишає певну симетрію в лагранжіані. Групою цієї симетрії є мала група H. У випадку порушення  SO(3) симетрії (приклад вище) малою групою є група поворотів  SO(2) відносно осі \phi_3. Зауважимо, що група  SO(2) ізоморфна групі U(1) калібрувальної симетрії електромагнітного поля.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.