У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:
де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a90cb50dde4a64ad3abe24532055204ff2506f3)
Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.
Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b75f7c4f124d6b5b389811fb1763f9b301de8ab)
![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cbd9155c76abcb17808b88077ee2b4815dc8bb)
тоді
![{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5c0f89d925ac8348accb734c949ab57a5b8799)
Для множення і ділення одержуються формули:
![{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c44c3d98904f9e036d6021244c383321c138584)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384d842083bb90d68421ba393ddb2afa26c68a52)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4492f22d38e0757d0d14eb60dd177f32b19e420c)
Послідовність
називається конволюцією послідовностей
і
.
Для ділення виконується:
![{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83a0dfe40e9355da047dfe1328dff55ac5c2bd9)
![{\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48f3dab1f299fd5f6a5e0d9fd0558104de9e5c3)
і значення знаходяться з формул конволюції.
Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд
. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.
Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.
- Перша теорема Абеля: Нехай ряд
є збіжним в точці
. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу
рівномірно по
на будь-якій компактній підмножині цього круга.
Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при
, він є розбіжним при всіх
, таких що
. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга
(можливо, нульовий або нескінченний), що при
ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по
на компактних підмножинах круга
), а при
ряд є розбіжним. Це значення
називається радіусом збіжності ряду, а круг
— кругом збіжності.
![{\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7307bec146e3c56bc5c6a9c44ef85007fb303a)
Нехай
і
— два степеневі ряди з радіусами збіжності
і
. Тоді
![{\displaystyle R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa71a2692b1d846305d783746dd67d4a89532bbc)
![{\displaystyle R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d8bfed64b7d2e008a5fe64eb93c4cd3752200f)
![{\displaystyle R_{F'}\,=\,R_{F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b638a41ff1f2338268d14b21d5dbc249059af3)
Якщо у ряду
вільний член нульовий, тоді
![{\displaystyle R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e935bead64346c85cce56e1a1f0627d3f4e819)
Питання про збіжність ряду в точках межі
круга збіжності потребує додаткового аналізу:
- Ознака Д’Аламбера: Якщо при
і
виконано нерівність
![{\displaystyle \left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c0653e838431dbb9c7f45e98b0e7cf1b7c4125)
- тоді степеневий ряд
є абсолютно збіжним в усіх точках кола
і збіжність є рівномірною по
.
- Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду
додатні і послідовність
монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола
, окрім, можливо, точки
.
- Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці
. Тоді він є рівномірно збіжним по
на відрізку, що сполучає точки 0 і
.
Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0301da19bc18fad4dc82aa681c014cd3985072)
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325dfe1de9b0c29d9f42e54abed049441f0a8595)
Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.
Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:
![{\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\ldots X_{n}^{k_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bda7bf33ffe516cb22fe0450743278fbedc0f2)
або, в мультиіндексних позначеннях
![{\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5ceb92af60b45be42e0d2ac6284d28824d49e7)
де
— це вектор
,
— мультиіндекс
,
— одночлен
.
- Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.Область збіжності степеневого ряду // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 520. — 594 с.