В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94dbe7a3bfd817e416c0b3b750fffd81f479d6fb)
Обчислення
-ною частковою сумою
гармонічного ряду називається
-не гармонічне число:
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8811d991636a9d2262981616d832ab74e72d05e)
Деякі значення часткових сум
|
|
Розбіжність ряду
Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Доведення 1
Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363c98e0adc44d3ce15b51fdff0b28f7216a38f2)
Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.
Доведення 2
Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна
:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa83f416ae6d918b79a91d2e0bc53d0aa26572b)
Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
![{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95a03386ca435d4553378d2c0f347cc0e495ded)
Винесемо із других дужок
:
![{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463b2d1cbcb6c8f7bd873bc54814ce10a16f4302)
Замінимо вираз в других дужках на
:
![{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8819333f587cc7a223bff00fce499383c1ddaaa)
Перенесемо
в ліву частину:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b157547a558d1556f19d2347646e15808352d0)
Замінивши
сумою ряду одержимо:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160dfa54e53c5b1174f8e67c9bbb3cdf9ac4ddb5)
Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.
Доведення 3
На початок запишемо суму геометричної прогресії:
![{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1109a224830431712e1c75d82dd9bc684d741433)
де |x|<1.
Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:
![{\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f485a2d74eaae2a008c1cf2f45c9bf6eb8fbd09a)
Перейшовши до границі при
одержуємо рівність:
.
Оскільки
, то також має місце
Тобто гармонічний ряд є розбіжним.
Див. також
Література
Посилання