Імовірний інтервал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Імові́рний інтерва́л (англ. credible interval) у баєсовій статистиці — це інтервал в області визначення апостерірного розподілу ймовірності або передбачуваного розподілу[en], що застосовується для інтервальної оцінки[en].[1] Його узагальненням для багатовимірних задач є імові́рний регіо́н (англ. credible region). Імовірні інтервали аналогічні довірчим інтервалам у частотній статистиці,[2] хоча вони й різняться філософськими засадами;[3] баєсові інтервали трактують свої межі як фіксовані, а оцінюваний параметр як випадкову змінну, тоді як частотні довірчі інтервали трактують свої межі як випадкові змінні, а параметр — як фіксовану величину.

Наприклад, в експерименті, що визначає розподіл невизначеності параметру , якщо ймовірністю того, що лежить між 35 та 45, є 0.95, то є 95-відсотковим імовірним інтервалом.

Вибір імовірного інтервалу[ред.ред. код]

Імовірні інтервали не є унікальними на апостеріорному розподілі. Методи визначення зручних імовірних інтервалів включають:

  • Обрання найвужчого інтервалу, що для одномодового розподілу[en] охопить значення із найбільшою густиною ймовірності, включно з модою. Його іноді називають інтерва́лом найви́щої апостеріо́рної густини́ (англ. highest posterior density interval).
  • Обрання інтервалу, для якого ймовірність знаходження перед ним є настільки ж правдоподібною, як і знаходження після нього. Цей інтервал включатиме медіану. Його іноді називають рівнохво́стим інтерва́лом (англ. equal-tailed interval).
  • За умови існування середнього значення, обрання інтервалу, для якого середнє значення є центральною точкою.

Є можливим сформулювати вибір імовірного інтервалу в теорії рішень, і в цьому контексті оптимальний інтервал завжди буде множиною найбільшої густини ймовірності.[4]

Відмінності від довірчого інтервалу[ред.ред. код]

Частотний 95-відсотковий довірчий інтервал (англ. confidence interval) означає, що при великій кількості повторюваних проб 95% обчислюваних таким чином довірчих інтервалів включатимуть істинне значення параметра. Ймовірність того, що параметр знаходиться всередині заданого інтервалу (скажімо, 35—45), є або 0, або 1 (не випадковий невідомий параметр є або там, або ні). Із частотної точки зору параметр є фіксованим (не може розглядатися як такий, що має розподіл можливих значень), а довірчий інтервал є випадковим (оскільки він залежить від випадкової вибірки). Антельман (1997, С. 375) резюмує, що [95-відсотковий] довірчий інтервал це «… один інтервал, що згенеровано процедурою, яка даватиме правильні інтервали в 95% випадків».[5]

У загальному випадку баєсові ймовірні інтервали не приймають однакового значення з частотними довірчими інтервалами, з двох причин:

  • імовірні інтервали включають контексту інформацію з апріорного розподілу, що враховує характерні особливості задачі, тоді як довірчі інтервали ґрунтуються лише на даних;
  • імовірні інтервали та довірчі інтервали трактують завадні параметри[en] докорінно відмінними шляхами.

У випадку єдиного параметру, та даних, що може бути зведено до єдиної достатньої статистики, може бути показано, що імовірні інтервали та довірчі інтервали дійсно прийматимуть однакове значення, якщо невідомий параметр є коефіцієнтом зсуву (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд  ) з апріорним, що є рівномірним пласким розподілом;[6] а також якщо невідомий параметр є коефіцієнтом масштабу (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд  ) з апріорним розподілом Джеффріса[en] [6] — крайнє з тієї причини, що взяття логарифму такого коефіцієнту масштабу перетворює його на коефіцієнт зсуву з рівномірним розподілом. Але ці випадки є виразно особливими (хоча й важливими); в цілому ж встановити таку еквівалентність неможливо.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Edwards, Ward, Lindman, Harold, Savage, Leonard J. (1963) «Bayesian statistical inference in psychological research». Psychological Review, 70, 193–242 (англ.)
  2. Lee, P.M. (1997) Bayesian Statistics: An Introduction, Arnold. ISBN 0-340-67785-6 (англ.)
  3. Frequentism and Bayesianism.  (англ.)
  4. O'Hagan, A. (1994) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference, Section 2.51. Arnold, ISBN 0-340-52922-9 (англ.)
  5. Antelman, G. (1997) Elementary Bayesian Statistics (Madansky, A. & McCulloch, R. eds.). Cheltenham, UK: Edward Elgar ISBN 978-1-85898-504-6 (англ.)
  6. а б Jaynes, E. T. (1976). «Confidence Intervals vs Bayesian Intervals», in Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science, (W. L. Harper and C. A. Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 175 et seq (англ.)