Статистичне висновування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Статисти́чне висно́вування (англ. statistical inference) — це процес встановлення властивостей розподілу, який лежить в основі даних, шляхом аналізу даних.[1] Висновувальний статистичний аналіз робить висновки про властивості генеральної сукупності: це включає перевірку гіпотез та отримання оцінок. Генеральна сукупність вважається більшою за спостережуваний набір даних; іншими словами, спостережувані дані вважаються вибіркою з більшої сукупності.

Висновувальна статистика може протиставлятися описовій статистиці. Описова статистика цікавиться виключно властивостями спостережуваних даних, і не припускає, що ці дані можуть походити з більшої сукупності.

Передмова[ред.ред. код]

Статистичне висновування створює висловлення про генеральну сукупність, використовуючи дані, вибрані з цієї сукупності за допомогою якогось виду відбору. Для заданої гіпотези про генеральну сукупність, про яку ми хочемо робити висновки, статистичне висновування складається з (по-перше) обирання статистичної моделі процесу, що породжує ці дані, та з (по-друге) виведення висловлень з цієї моделі.[джерело?]

Конісі та Кітагава стверджують, що «більшість задач статистичного висновування можна розглядати як задачі, пов'язані зі статистичним моделюванням».[2] Стосовно цього Девід Кокс[en] сказав, що «як саме здійснюється [цей] переклад із предметної задачі до статистичної моделі, є часто найкритичнішою частиною аналізу.»[3]

Висновком статистичного висновування є статистичне висловлення.[джерело?] Деякими з поширених видів статистичних висловлень є наступні:

Моделі та припущення[ред.ред. код]

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Статистична модель та Статистичні припущення[en].

Статистичне висновування вимагає деяких припущень. Статисти́чна моде́ль є набором припущень стосовно породження спостережуваних даних, та схожих на них. Описи статистичних моделей зазвичай підкреслюють роль досліджуваних величин генеральних сукупностей, стосовно яких ми хочемо робити висновки.[5] Описова статистика, як правило, використовується як підготовчий крок перед отриманням формальніших висновків.[6]

Рівні моделей/припущень[ред.ред. код]

Статистики розрізняють три рівні моделювальних припущень:

  • Повністю параметричний[en]: Розподіли ймовірностей, що описують процес породження даних, вважаються повністю описаними сімейством розподілів імовірності, що включають лише обмежену кількість невідомих параметрів.[7] Наприклад, можна припустити, що розподіл значень генеральної сукупності є істинно нормальним, з невідомими середнім значенням та дисперсією, і що набори даних породжуються «простим» випадковим відбором[en]. Широко застосовуваним та гнучким класом параметричних моделей є узагальнені лінійні моделі[en].
  • Непараметричний[en]: Припущення стосовно процесу, що породжує дані, є значно меншими, ніж у параметричній статистиці, й можуть бути мінімальними.[8] Наприклад, кожен безперервний розподіл імовірності має медіану, яку може бути оцінено з використанням медіани вибірки, або оцінки Ходжеса — Лемана — Сена[en], що має гарні властивості, коли дані походять з простого випадкового відбору.
  • Напівпараметричний[en]: Під цим терміном зазвичай мають на увазі припущення «посередині» між повністю параметричним та непараметричним підходами. Наприклад, можна припустити, що розподіл генеральної сукупності має скінченне середнє значення. Крім того, можна припустити, що рівень чутливості середнього значення в генеральній вибірці залежить істинно лінійним чином від деякої коваріати[en] (параметричне припущення), але не робити жодного параметричного припущення, що описувало би дисперсію навколо цього середнього значення (тобто, про наявність або можливий вигляд будь-якої гетероскедастичності). Загальніше, напівпараметричні моделі часто можна розділити на «структурну» складову та складову «випадкової дисперсії». Одна компонента обробляється параметрично, а інша — непараметрично. Добре відома модель Кокса[en] є набором напівпараметричних припущень.

Важливість чинності моделей/припущень[ред.ред. код]

Якого б рівня припущення не робилися, правильно відкаліброване висновування в цілому вимагає, щоби ці припущення були правильними, тобто, щоби механізми породження даних дійсно було вказано правильно.

Неправильні припущення про «простий» випадковий відбір[en] можуть зробити статистичне висновування нечинним. Наприклад, неправильне припущення про модель Кокса може в деяких випадках призвести до хибних висновків.[9] Неправильні припущення про нормальність в генеральній сукупності також позбавляють чинності деякі види висновування на основі регресії.[10] Використання будь-якої параметричної моделі розглядається скептично більшістю експертів у відборі вибірок з людських сукупностей: «більшість статистиків, що роблять вибірки, коли мають справу з довірчими інтервалами взагалі, то обмежують себе твердженнями [про оцінки] на основі дуже великих вибірок, коли центральна гранична теорема гарантує, що [оцінки] матимуть розподіли, що є майже нормальними».[11] Зокрема, нормальний розподіл «був би абсолютно нереалістичним та катастрофічно нерозумним припущенням, якщо ми маємо справу з будь-яким типом економічної генеральної сукупності».[11] Тут центральна гранична теорема стверджує, що розподіл середнього значення вибірки «для дуже великих вибірок» є розподіленим приблизно нормально, якщо цей розподіл має не повільно спадний хвіст[en].

Наближені розподіли[ред.ред. код]

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Статистична відстань[en], Асимптотична теорія (статистика)[en] та Теорія наближень[en].

Враховуючи труднощі визначення точних розподілів статистик вибірки, було розроблено багато методів їхнього наближення.

При скінченних вибірках результати наближення[en] вимірюють, наскільки близько граничний розподіл наближається до розподілу вибірки статистики: наприклад, із 10 000 незалежними зразками нормальний розподіл наближається (з двома цифрами точності) до розподілу вибіркового середнього для багатьох популярних розподілів, згідно теореми Беррі — Ессена[en].[12] Тим не менше, для багатьох практичних цілей нормальне наближення дає добре наближення за наявності 10 (або більше) незалежних зразків, згідно із симуляційними дослідженнями та досвідом статистиків.[12] Після праці Колмогорова в 1950-х роках передова статистика використовує теорію наближень[en] та функціональний аналіз для кількісного вираження похибки наближення. У цьому підході досліджується метрична геометрія розподілів ймовірностей; цей підхід виражає похибку наближення за допомогою, наприклад, відхилення Кульбака — Лейблера, відхилення Брегмана[en] та відстані Хеллінгера[en].[13][14][15]

Для нескінченно великих вибірок граничний розподіл вибіркової статистики, якщо такий існує, описують граничні результати[en], такі як центральна гранична теорема. Граничні результати не є твердженнями про скінченні вибірки, і дійсно є недоречними для них.[16][17][18] Тим не менш, асимптотичну теорію граничних розподілів часто залучають для роботи зі скінченними вибірками. Наприклад, граничні результати часто залучають для обґрунтування узагальненого методу моментів[en] та для використання узагальнених оцінювальних рівнянь[en], що є популярними в економетрії та біологічній статистиці. Величину різниці між граничним та істинним розподілами (формально, «похибку» апроксимації) може бути оцінено із застосуванням симуляції.[19] Евристичне застосування граничних результатів до скінченних вибірок є поширеною практикою в багатьох застосуваннях, особливо з моделями невисокої розмірності з логарифмічно угнутими правдоподібностями (такими як однопараметричні експоненційні сімейства[en]).

Моделі на основі рандомізації[ред.ред. код]

Докладніше: Рандомізація

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Випадкова вибірка та Випадкове призначення[en].

Для заданого набору даних, що було вироблено за планування з рандомізацією, розподіл рандомізації статистики (за нульової гіпотези) визначається шляхом оцінки пробної статистики для всіх планів, що може бути породжено цим плануванням з рандомізацією. У частотному висновуванні рандомізація дозволяє висновуванням ґрунтуватися на розподілі рандомізації, а не на суб'єктивній моделі, і це є особливо важливим у відборі для дослідження[en] та плануванні експериментів.[20][21] Статистичне висновування із рандомізованих досліджень є також простішим і в багатьох інших ситуаціях.[22][23][24] Рандомізація є важливою і в баєсовому висновуванні: у відборі для дослідження[en] застосування відбору без повторів[en] забезпечує взаємозамінність[en] вибірки з генеральною сукупністю; в рандомізованих експериментах рандомізація гарантує припущення випадкової відсутності[en] для інформації про коваріату[en].[25]

Об'єктивна рандомізація дозволяє правильні індуктивні процедури.[26][27][28][29][30] Багато статистиків віддають перевагу аналізу на основі рандомізації для даних, що було породжено чітко визначеними рандомізаційними процедурами.[31] (Тим не менше, правдою є й те, що в галузях науки із розвиненими теоретичними знаннями та керуванням експериментами рандомізовані експерименти можуть збільшувати витрати на експериментування без поліпшення якості висновків.[32][33]) Так само, результати рандомізованих експериментів[en] рекомендуються провідними статистичними органами як такі, що можуть уможливлювати висновування з більшою надійністю, ніж спостережні дослідження тих самих явищ.[34] Тим не менше, добре спостережне дослідження може бути кращим за поганий рандомізований експеримент.

Статистичний аналіз рандомізованого експерименту може ґрунтуватися на схемі рандомізації, визначеній у протоколі експерименту, і не потребує суб'єктивної моделі.[35][21]

Проте, як би там не було, деякі гіпотези неможливо перевіряти із застосуванням об'єктивних статистичних моделей, що точно описують рандомізовані експерименти або випадкові вибірки. В деяких випадках такі рандомізовані дослідження є неекономічними або неетичними.

Аналіз рандомізованих експериментів на основі моделей[ред.ред. код]

Стандартною практикою при аналізі даних з рандомізованих експериментів є посилатися на статистичну модель, часто лінійну. Проте схема рандомізації направляє обирання статистичної моделі. Неможливо вибрати підхожу модель, не знаючи схеми рандомізації.[21] Ігноруючи протокол експерименту при аналізі даних з рандомізованих експериментів, можна отримати небезпечно оманливі результати; поширені помилки включають забування блокування, що використовується в експерименті, та сплутування повторюваних вимірювань на одній і тій же експериментальній одиниці з незалежними повторами обробки, застосовуваної до різних експериментальних одиниць.[36]

Парадигми висновування[ред.ред. код]

Було засновано різні школи статистичного висновування. Ці школи, або «парадигми», не є взаємовиключними, і методи, що добре працюють за однієї парадигми, часто мають привабливі інтерпретації за інших парадигм.

Бандіопадхай та Форстер[37] описують чотири парадигми: «(I) класичні статистики або статистики помилок, (II) баєсові статистики, (III) статистики на основі правдоподібностей, та (IV) статистики на основі інформаційного критерію Акаіке». Огляд класичної (або частотної) парадигми, баєсової парадигми та парадигми на основі інформаційного критерію Акаіке наведено нижче. Парадигма на основі правдоподібностей є по суті підпарадигмою парадигми на основі інформаційного критерію Акаіке.

Частотне висновування[ред.ред. код]

Ця парадигма калібрує слушність висловлень шляхом розгляду (релевантного) повторюваного відбору з розподілу сукупності для вироблення наборів даних, подібних до наявного. Шляхом розгляду характеристик цього набору даних на повторюваних вибірках може бути отримано кількісну оцінку частотних властивостей[38] статистичного висловлення, хоча на практиці таке кількісне оцінювання може бути складним завданням.

Приклади частотного висновування[ред.ред. код]

Частотне висновування, об'єктивність та теорія рішень[ред.ред. код]

Однією з інтерпретацій частотного висновування (або класичного висновування) є те, що воно є застосовним лише в термінах частотної ймовірності, тобто, в термінах повторюваних вибірок із генеральної сукупності. Проте у підході Неймана[39] ці процедури розробляються в термінах преекспериментальних імовірностей. Тобто, перш ніж приступати до експерименту, ухвалюється рішення про правило, як приходити до висновку, так що ймовірність бути правильним контролюється зручним чином: такій імовірності не потрібно мати частотну інтерпретацію, або інтерпретацію повторного відбору. На противагу, баєсове висновування працює в термінах умовних імовірностей (тобто ймовірностей, обумовлених спостережуваними даними), порівнюваних із відособленими (але обумовленими невідомими параметрами) ймовірностями, що застосовуються в частотному підході.

Частотні процедури перевірки значущості та довірчих інтервалів може бути побудовано без врахування функцій корисності. Проте деякі елементи частотних статистик, такі як статистична теорія рішень, таки включають функції корисності.[джерело?] Зокрема, частотні розробки оптимального висновування (такі як мінімально-дисперсійні незміщені оцінки[en] або рівномірно найпотужніші критерії[en]) використовують функції втрат, що відіграють роль (негативних) функцій корисності. Статистикам-теоретикам не потрібне явне вказання функцій втрат для доведення того, що статистична процедура володіє властивістю оптимальності.[40] Тим не менше, функції втрат часто є корисними для встановлення властивостей оптимальності: наприклад, медіанні незміщені оцінки є оптимальними за модульних функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати, а мінімально-квадратичні оцінки є оптимальними за квадратичних функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати.

Хоча статистики, що використовують частотне висновування, і повинні обирати для себе параметри, що їх цікавлять, та оцінки/критерії, які застосовувати, відсутність очевидно явних функцій корисності та апріорних розподілів посприяла тому, що частотні процедури стали широко розглядатися як «об'єктивні».[джерело?]

Баєсове висновування[ред.ред. код]

Баєсове числення описує міри переконання із застосуванням «мови» ймовірності; переконання є додатними, інтегруються в одиницю, та підкоряються аксіомам імовірності. Баєсове висновування використовує доступні апостеріорні переконання як основу для створення статистичних висловлень. Існує декілька різних обґрунтувань застосування баєсового підходу.[38]

Приклади баєсового висновування[ред.ред. код]

Баєсове висновування, суб'єктивність та теорія рішень[ред.ред. код]

Багато неформальних баєсових висновувань ґрунтуються на «інтуїтивно розумних» зведеннях[en] апостеріорного. Наприклад, як такі може бути обґрунтовано апостеріорне середнє, медіану та моду, інтервали найвищої густини апостеріорного та коефіцієнти Баєса. І хоча в цьому типі висновування й не потрібно вказувати користувацьку функцію корисності, ці зведення всі залежать (певною мірою) від вказаних апріорних переконань, і загалом розглядаються як суб'єктивні висновки. (Було запропоновано методи побудови апріорного, що не вимагають зовнішнього введення, але їх ще не було повністю розроблено.)

Формально баєсове висновування калібрується із посиланням на явно вказану функцію корисності, або втрат; «правило Баєса» є таким, що максимізує очікувану корисність, усереднену над невизначеністю апостеріорного. Формальне баєсове висновування відтак автоматично пропонує оптимальні рішення в розумінні теорії рішень. При заданих припущеннях, даних та корисності баєсове висновування може бути зроблено практично для будь-якої задачі, хоча не кожному статистичному висновуванню потрібно мати баєсову інтерпретацію. Аналізи, що не є формально баєсовими, можуть бути (логічно) незв'язними[en]; особливість баєсових процедур, що використовують коректні апріорні (тобто такі, що інтегруються до одиниці), полягає в тому, що вони гарантовано будуть зв'язними[en]. Деякі прихильники баєсового висновування стверджують, що висновування мусить мати місце в цій теоретичній моделі рішень, і що баєсове висновування не повинне завершуватися оцінкою та узагальненням апостеріорних переконань.

Висновування на основі інформаційного критерію Акаіке[ред.ред. код]

Інші парадигми для висновування[ред.ред. код]

Мінімальна довжина опису[ред.ред. код]

Принцип мінімальної довжини опису (МДО, англ. minimum description length, MDL) було розроблено з ідей із теорії інформації[41] та теорії колмогоровської складності.[42] Принцип МДО обирає статистичні моделі, що максимально стискають дані; висновування відбувається без розгляду «механізмів породження даних» або ймовірнісних моделей, що суперечать даним або є неспростовними, як це може робитися в частотному або баєсовому підходах.

Тим не менш, якщо «механізм породження даних» існує в реальності, то згідно шеннонівської теореми про джерело шифрування[en] він пропонує МДО-опис даних, в середньому та асимптотично.[43] В мінімізації довжини опису (або описової складності) оцінка МДО є подібною до оцінки максимальної правдоподібності та оцінки апостеріорного максимуму (з використанням баєсових апріорних з максимальною ентропією[en]). Хоча МДО й уникає припущення, що ймовірнісна модель, що лежить в основі даних, є відомою, принцип МДО також може застосовуватися й без припущень, наприклад, що дані походять з незалежної вибірки.[43][44]

Принцип МДО застосовувався в комунікаційній теорії кодування в теорії інформації, в лінійній регресії[44] та добуванні даних.[42]

Виконання висновувальних процедур на основі МДО часто використовує прийоми та критерії з теорії складності обчислень.[45]

Фідуційне висновування[ред.ред. код]

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Фідуційне висновування[en].

Фідуційне висновування[en] було підходом до статистичного висновування на основі фідуційної ймовірності[en], відомої також як «фідуційний розподіл». У подальших працях цей підхід було названо недовизначеним, надзвичайно обмеженим у застосовності та навіть помилковим.[46][47] Хоча ця аргументація є такою ж, як і та, що показує,[48] що так званий розподіл довіри[en] не є чинним розподілом імовірності, та, оскільки це не позбавило чинності застосування довірчих інтервалів, воно не обов'язково позбавляє чинності висновки, отримувані з фідуційної аргументації. Було вчинено спробу повторно інтерпретувати ранні праці з фідуційної аргументації[en] Фішера як окремий випадок теорії висновування із застосуванням верхніх та нижніх імовірностей[en].[49]

Структурне висновування[ред.ред. код]

Розвиваючи ідеї Фішера та Пітмана з 1938 по 1939 років,[50] Джордж Барнард[en] розробив «структурне висновування» (англ. structural inference) або «центральне висновування» (англ. pivotal inference),[51] підхід, що використовує інваріантні ймовірності на групових сімействах[en] (англ. group family). Барнард переформулював аргументацію, що стояла за фідуційним висновуванням, на обмеженому класі моделей, на якому «фідуційні» процедури були би добре визначеними та корисними.

Питання висновування[ред.ред. код]

Наведені нижче питання зазвичай включаються до царини статистичного висновування.

  1. Статистичні припущення[en]
  2. Статистична теорія рішень
  3. Теорія оцінювання
  4. Перевірка статистичних гіпотез
  5. Перегляд поглядів у статистиці
  6. Планування експериментів, дисперсійний аналіз та регресія
  7. Відбір вибірки для спостереження[en]
  8. Підсумовування статистичних даних

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Upton, G., Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP. ISBN 978-0-19-954145-4 (англ.)
  2. Konishi та Kitagawa, 2008, с. 75
  3. Cox, 2006, с. 197
  4. За Пірсом прийняття означає, що запит на це питання припиняється на деякий час. У науці всі наукові теорії можуть підлягати перегляду
  5. Cox, 2006, с. 2
  6. Evans, Michael (2004). Probability and Statistics: The Science of Uncertainty. Freeman and Company. с. 267.  (англ.)
  7. Cox, 2006
  8. van der Vaart, A.W. (1998) Asymptotic Statistics Cambridge University Press. ISBN 0-521-78450-6 (page 341) (англ.)
  9. Freedman, D.A.[en] (2008) "Survival analysis: An Epidemiological hazard?". The American Statistician (2008) 62: 110-119. (Reprinted as Chapter 11 (pages 169–192) of Freedman (2010)). (англ.)
  10. Berk, R. (2003) Regression Analysis: A Constructive Critique (Advanced Quantitative Techniques in the Social Sciences) (v. 11) Sage Publications. ISBN 0-7619-2904-5 (англ.)
  11. а б Brewer, Ken (2002). Combined Survey Sampling Inference: Weighing of Basu's Elephants. Hodder Arnold. с. 6. ISBN 978-0340692295.  (англ.)
  12. а б Jörgen Hoffman-Jörgensen's Probability With a View Towards Statistics, Volume I. Page 399 (англ.)
  13. Le Cam, 1986
  14. Erik Torgerson (1991) Comparison of Statistical Experiments, volume 36 of Encyclopedia of Mathematics. Cambridge University Press. (англ.)
  15. Liese, Friedrich & Miescke, Klaus-J. (2008). Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection. Springer. ISBN 0-387-73193-8.  (англ.)
  16. Kolmogorov, 1963, С. 369: «Частотний підхід, що ґрунтується на понятті граничної частоти при кількості проб, що прямує до нескінченності, не дозволяє обґрунтувати застосовність результатів теорії ймовірностей до практичних задач, в яких ми маємо справу зі скінченним числом проб»
  17. Le Cam, 1986, С. xiv: «Дійсно, граничні теореми „при n, що прямує до нескінченності“, є логічно позбавленими змісту про те, що відбувається за будь-якого конкретного n. Все, що вони можуть,— це запропонувати певні підходи, чия продуктивність повинна підлягати перевірці для випадків, що є під рукою.»
  18. Pfanzagl, 1994, «Вирішальний недолік асимптотичної теорії: Що ми очікуємо від асимптотичної теорії, це результати, які мають силу приблизно… Що асимптотична теорія може запропонувати, це граничні теореми.» (С. ix) «Що має значення для застосувань, це наближення, а не границі.» С. 188
  19. Pfanzagl, 1994, «Беручи граничну теорему як приблизно істинну для великих розмірів вибірок, ми привносимо похибку, розмір якої є невідомим. […] Реалістичну інформацію про залишкові похибки можна отримувати з симуляцій.» С. ix
  20. Neyman, J. (1934) "On the two different aspects of the representative method: The method of stratified sampling and the method of purposive selection", Journal of the Royal Statistical Society[en], 97 (4), 557–625 JSTOR 2342192 (англ.)
  21. а б в Hinkelmann та Kempthorne, 2008
  22. ASA Guidelines for a first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website) (англ.)
  23. David A. Freedman[en] et alia's Statistics. (англ.)
  24. Moore, McCabe та Craig, 2015
  25. Gelman A.[en] et al. (2013). Bayesian Data Analysis (Chapman & Hall[en]). (англ.)
  26. Peirce, 1877-1878
  27. Peirce, 1883
  28. Freedman, Pisani та Purves, 1978
  29. David A. Freedman[en] Statistical Models (англ.)
  30. Rao, C.R.[en] (1997) Statistics and Truth: Putting Chance to Work, World Scientific. ISBN 981-02-3111-3 (англ.)
  31. Peirce; Freedman; Moore et al. (2015).[джерело?]
  32. Box, G.E.P. and Friends (2006) Improving Almost Anything: Ideas and Essays, Revised Edition, Wiley. ISBN 978-0-471-72755-2 (англ.)
  33. Cox, 2006, с. 196
  34. ASA Guidelines for a first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website)
    • David A. Freedman et alia's Statistics.
    • Moore et al. (2015).
    (англ.)
  35. Neyman, Jerzy. 1923 [1990]. "On the Application of Probability Theory to AgriculturalExperiments. Essay on Principles. Section 9." Statistical Science 5 (4): 465–472. Trans. Dorota M. Dabrowska and Terence P. Speed. (англ.)
  36. Hinkelmann та Kempthorne, 2008, Chapter 6
  37. Bandyopadhyay та Forster, 2011, Цитату взято зі вступу до книги (С.3). Див. також «Section III: Four Paradigms of Statistics».
  38. а б Renganathan, Vinaitheerthan (2016-03-31). Overview of Frequentist and Bayesian approach to Survival Analysis. Applied Medical Informatics (en) 38 (1). с. 25–38. ISSN 2067-7855.  (англ.)
  39. Neyman, J. (1937). Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 236. с. 333–380. doi:10.1098/rsta.1937.0005.  (англ.)
  40. Pfanzagl, 1994, Preface
  41. Soofi, 2000
  42. а б Hansen та Yu, 2001
  43. а б Hansen та Yu, 2001, с. 747
  44. а б Rissanen, 1989, с. 84
  45. Joseph F. Traub, G. W. Wasilkowski, and H. Wozniakowski. (1988) (англ.)
  46. Neyman, 1956
  47. Zabell, 1992
  48. Cox, 2006, с. 66
  49. Hampel, 2003
  50. Davison, С. 12. (англ.)
  51. Barnard, G.A. (1995) "Pivotal Models and the Fiducial Argument", International Statistical Review, 63 (3), 309–323. JSTOR 1403482 (англ.)

Джерела[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]