Апостеріорна ймовірність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В баєсовій статистиці апостеріо́рна ймові́рність (англ. posterior probability) випадкової події або сумнівного твердження — це умовна ймовірність, яка присвоюється після врахування відповідного свідчення[en] або вихідних даних. Так само апостеріо́рний розпо́діл імові́рності (англ. posterior probability distribution) — це розподіл невідомої величини, що розглядається як випадкова змінна, обумовлений свідченням, отриманим з експерименту або спостереження. «Апостеріорний» в даному контекст означає — після врахування відповідного свідчення, пов'язаного з певним досліджуваним випадком.

Визначення[ред.ред. код]

Апостеріорна ймовірність є ймовірністю параметрів за заданого свідчення : .

Вона протиставиться до функції правдоподібності, яка є ймовірністю цього свідчення за заданих параметрів: .

Вони пов'язані наступним чином:

Нехай у нас є апріорне переконання, що функція розподілу ймовірності це , і спостереження з правдоподібністю , тоді апостеріорна ймовірність визначається як

[1]

Апостеріорну ймовірність може бути записано в такому зручному для запам'ятовування вигляді:

.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай у школі 60% учнів — хлопці, і 40% — дівчата. Дівчата носять штани та спідниці в рівній кількості, хлопці всі носять штани. Спостерігач здалеку бачить учня (випадкового); все, що може бачити спостерігач, — це те, що учень в штанях. Яка ймовірність того, що цей учень — дівчина? Правильну відповідь може бути обчислено за допомогою теореми Баєса.

Подією є те, що учень, якого бачить спостерігач, є дівчиною, а подією є те учень, що цей учень носить штани. Для обчислення апостеріорної ймовірності , нам спочатку необхідно дізнатися:

  • , або ймовірність того, що цей учень є дівчиною незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки спостерігач бачить випадкового учня, тобто всі учні мають однакову ймовірність бути побаченими, а частка дівчат серед них становить 40%, то ця ймовірність дорівнює 0.4.
  • , або ймовірність того, що цей учень не є дівчиною (тобто, хлопчик), незалежно від будь-якої іншої інформації ( є доповнювальною подією до ). Це є 60%, або 0.6.
  • , або ймовірність того, що учень носить штани, якщо він є дівчиною. Оскільки вони однаково часто носять штани та спідниці, то це 0.5.
  • , або ймовірність то, що учень носить штани, якщо він є хлопцем. Це задано як 1.
  • , або ймовірність того, що (випадково вибраний) учень носить штани незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки (згідно закону повної ймовірності), це становить .

Враховуючи всю цю інформацію, ймовірність того, що спостерігач бачить дівчину, за умови що учень, якого бачить спостерігач, носить штани, може бути обчислено підставленням цих значень до формули

Обчислення[ред.ред. код]

Апостеріорний розподіл імовірності однієї випадкової змінної при заданому значенні іншої може бути обчислено за теоремою Баєса шляхом множення апріорного розподілу ймовірності на функцію правдоподібності, а потім діленням на нормувальну сталу[en], а саме:

дає апостеріорну функцію густини ймовірності випадкової змінної з урахуванням даних , де

  • є апріорною густиною ;
  • є функцією правдоподібності як функція від ;
  • є нормувальною сталою, та
  • є апостеріорною густиною з урахуванням даних .

Класифікація[ред.ред. код]

У класифікації апостеріорна ймовірність відображає невизначеність віднесення спостереження до певного класу, див. також ймовірності приналежності до класів[en]. Хоча методи статистичної класифікації за визначенням і породжують апостеріорні ймовірності, фахівці з машинного навчання зазвичай подають значення приналежності, що не передбачають жодної ймовірнісної довірчості. Бажано перетворювати або перемасштабовувати значення приналежності у ймовірності приналежності до класів, оскільки вони є порівнюваними й на додачу легше застосовними для подальшої обробки.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Christopher M. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. с. 21–24. ISBN 978-0-387-31073-2.  (англ.)

Література[ред.ред. код]