Сере́днє сте́пеня p (середнє степеневе, узагальнене середнє) — узагальнення середнього арифметичного, середнього геометричного, середнього квадратичного, середнього гармонійного.
Означення
Якщо
— дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня
для будь-яких додатних чисел
як:
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4905c85f8d22df44cca67c72420a6a1ee322c9d4)
Через граничний перехід довизначаються такі величини:
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f793292fa71c0e6b176f0bf55a8c038d8e8d90)
![{\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dc156355025087b96a40c8774410264b634c4c)
![{\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to +\infty }M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38122bbfdd35f500753505031cc672fee46d128)
Окремі випадки
Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.
— середнє гармонійне (HM),
— середнє геометричне (GM),
— середнє арифметичне (AM),
— середнє квадратичне (RMS).
Нерівності
- Якщо
, тоді
, і рівність наступає тільки при
.
Це випливає з того, що
, що може бути доведено за допомогою нерівності Єнсена.
- Окремим випадком попередньої нерівності є:
![{\displaystyle \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\leqslant {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leqslant \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\leqslant {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\leqslant \max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7513387178a698f8c9292e2741a2babf50995372)
Див. також
Джерела
- Э.Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир. с. 276.