Ознаки збіжності
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
Частковими сумами цього ряду будуть:
Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто
Число є сумою ряду, отже:
Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.
Класифікація ознак збіжності[ред. | ред. код]
Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.
Необхідна умова збіжності означає:
- якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
- якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.
Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.
Достатня умова збіжності означає:
- якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
- якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.
У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів, знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.
Список ознак[ред. | ред. код]
Необхідна умова збіжності[ред. | ред. код]
Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що , то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.
Ознака д'Аламбера[ред. | ред. код]
Припустимо, що існує таке , що
Якщо , то ряд є абсолютно збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Радикальна ознака Коші[ред. | ред. код]
Нехай де позначає верхню границю послідовності (можливо ; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).
Якщо , то ряд є збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки.[1] Наприклад, ряд є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.
Інтегральна ознака Коші–Маклорена[ред. | ред. код]
Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що . Якщо то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.
Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів[ред. | ред. код]
Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай . Тоді збігається, якщо . При , отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При , отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до . У загальному випадку, для , ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від , тобто .
Ознака порівняння[ред. | ред. код]
Якщо ряд є абсолютно збіжним та для достатньо великих , то ряд є абсолютно збіжним.
Гранична ознака порівняння[ред. | ред. код]
Якщо (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд є розбіжним тоді і лише тоді, коли ряд є розбіжним.
Ознака стиснення Коші[en][ред. | ред. код]
Нехай є незростаючою послідовністю. Тоді сума збігається тоді і лише тоді, коли сума збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність .
Ознака Абеля[ред. | ред. код]
Нехай справедливі наступні твердження:
- – збіжний ряд,
- є монотонною послідовністю та
- є обмеженою.
Тоді ряд також є збіжним.
Ознака абсолютної збіжності[ред. | ред. код]
Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.
Ознака Лейбніца[ред. | ред. код]
Припустимо, що справедливі наступні твердження:
- та
- для будь-якого , .
Тоді ряди та є збіжними.
Ознака Діріхле[ред. | ред. код]
Якщо послідовність дійсних чисел та послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:
- ,
- ,
- , для всякого натурального ,
де – деяка стала, тоді ряд є збіжним.
Ознака Раабе–Дюамеля[en][ред. | ред. код]
Нехай . Визначимо як якщо існує, то можливі такі варіанти:
- — ряд є збіжним,
- — ряд є розбіжним,
- — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі та (натуральне число), що
- , для всіх
то ряд є збіжним.
Ознака Бертрана[en][ред. | ред. код]
Нехай послідовність додатних чисел. Визначимо як
Якщо
існує, то можливі такі випадки:[2][3]
- — ряд є збіжним,
- — ряд є розбіжним,
- — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Ознака Гауса[en][ред. | ред. код]
Нехай послідовність додатних чисел. Якщо для певного , то ряд є збіжним, якщо , і є розбіжним, якщо .[4]
Ознака Куммера[ред. | ред. код]
Нехай { an } - послідовність додатніх чисел. Тоді:[5][6][7]
(1) є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що .
(2) є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність додатніх чисел таких що
і розбігається.
Примітки[ред. | ред. код]
- Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для рядів Фур'є існує ознака Діні.
Приклади[ред. | ред. код]
Розглянемо ряд
-
(
)
З ознаки стиснення Коші[en] випливає, що (i) є скінченно збіжним, якщо
-
(
)
є скінченно збіжним. Оскільки
то (ii) є геометричним рядом зі знаменником . (ii) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли ). Отже, (i) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли .
Збіжність добутків[ред. | ред. код]
Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток
є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд Аналогічно, якщо виконується умова , то прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.[8]
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
- Wachsmuth, Bert G. «MathCS.org — Real Analysis: Ratio Test»[1]. www.mathcs.org.
- František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis
- Weisstein, Eric W. «Bertrand's Test»[2]. mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-04-16.
- «Gauss criterion»[3], «Encyclopedia of Mathematics», «EMS Press», 2001 [1994]
- Belk, Jim (26 January 2008)."Convergence of Infinite Products"[4]
- The Calculus, with Analytic Geometry (вид. 2nd). New York: Harper & Row. 1972. с. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.
Посилання[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Wachsmuth, Bert G. MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test. www.mathcs.org.
- ↑ František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis.
- ↑ Weisstein, Eric W. Bertrand's Test. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 16 квітня 2020.
- ↑ * Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- ↑ Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1835 (13): 171—184. 1 січня 1835. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. S2CID 121050774.
- ↑ Tong, Jingcheng (1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series. The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450—452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
- ↑ Samelson, Hans (1995). More on Kummer's Test. The American Mathematical Monthly (англ.). 102 (9): 817—818. doi:10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.
- ↑ Belk, Jim (26 січня 2008). Convergence of Infinite Products.
|