Випадковий процес: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Maluga O. (обговорення | внесок)
33 редагування
Немає опису редагування
Рядок 8: Рядок 8:


Наукові дослідження в галузі [[теорія випадкових процесів|теорії випадкових процесів]] та її застосувань проводяться по всьому світу. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної самоподібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як [[дробовий броунівський рух]] та побудовані на ньому стохастичні числення.
Наукові дослідження в галузі [[теорія випадкових процесів|теорії випадкових процесів]] та її застосувань проводяться по всьому світу. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної самоподібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як [[дробовий броунівський рух]] та побудовані на ньому стохастичні числення.
[[Файл:BMonSphere.jpg|міні|Комп'ютерно змодельована реалізація процесу Вінера або процесу Броунівського руху на поверхню кулі.  Вінерівський процес вважається найбільш вивченим і це базовий  випадковий процес в теорії ймовірності.]]
В [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірності]] та суміжних областях,  '''стохастичний''' або '''випадковий процес''' це математичний об'єкт який зазвичай визначається як сукупність [[Випадкова величина|випадкових величин]]. Історично склалося так, що випадкові змінні були пов'язані з набором цифр які, як правило, розглядалися в якості моментів в часі, даючи тлумачення стохастичному процесу, який представляє числові значення деякої системи яка [[Випадковість|випадковим чином]]  змінюється з плином [[Час|часу]]. Наприклад,  зростання [[Бактерії|бактеріально]]<nowiki/>ї популяції, [[електричний струм]] коливається у зв'язку з [[Тепловий шум|тепловим шум]]<nowiki/>ом або рухом [[Газ|газових]] [[Молекула|молекул]].<ref name="doob1953stochasticP46to47">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=7Bu8jgEACAAJ|title=Stochastipoic processes|last=Joseph L. Doob|year=1990|publisher=Wiley|page=46 and 47}}</ref><ref name="Parzen1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ|title=Stochastic Processes|last=Emanuel Parzen|date=17 June 2015|publisher=Courier Dover Publications|page=7 and 8|isbn=978-0-486-79688-8}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q0lo91imeD0C|title=Introduction to the Theory of Random Processes|last=Iosif Ilyich Gikhman|last2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|year=1969|publisher=Courier Corporation|page=1|isbn=978-0-486-69387-3}}</ref> Випадкові процеси широко застосовуються в якості [[Математична модель|математичних моделей]] систем та явищ, які з'являються, змінюються у випадковому порядку. Вони знаходять своє застосування в багатьох дисциплінах, включаючи такі [[Наука|науки]] , такі як [[біологія]],<ref name="Bressloff2014">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ|title=Stochastic Processes in Cell Biology|last=Paul C. Bressloff|date=22 August 2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-08488-6}}</ref> [[хімія]],<ref name="Kampen2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=N6II-6HlPxEC|title=Stochastic Processes in Physics and Chemistry|last=N.G. Van Kampen|date=30 August 2011|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047536-3}}</ref> [[екологія]],<ref name="LandeEngen2003">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6KClauq8OekC|title=Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation|last=Russell Lande|last2=Steinar Engen|last3=Bernt-Erik Sæther|year=2003|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852525-7}}</ref> [[Нейронаука|неврологія]],<ref name="LaingLord2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=RaYSDAAAQBAJ|title=Stochastic Methods in Neuroscience|last=Carlo Laing|last2=Gabriel J Lord|year=2010|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-923507-0}}</ref> і [[фізика]]<ref name="PaulBaschnagel2013">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OWANAAAAQBAJ|title=Stochastic Processes: From Physics to Finance|last=Wolfgang Paul|last2=Jörg Baschnagel|date=11 July 2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-00327-6}}</ref> , а також [[Технологія|технологій]] і [[Інженерія|технічних]] галузях, таких як [[обробка зображень]], [[обробка сигналів]],<ref name="Dougherty1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ePxDAQAAIAAJ|title=Random processes for image and signal processing|last=Edward R. Dougherty|year=1999|publisher=SPIE Optical Engineering Press|isbn=978-0-8194-2513-3}}</ref> [[теорія інформації]],<ref name="CoverThomas2012page71">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC=PT16|title=Elements of Information Theory|last=Thomas M. Cover|last2=Joy A. Thomas|date=28 November 2012|publisher=John Wiley & Sons|page=71|isbn=978-1-118-58577-1}}</ref> [[інформатика]],<ref name="Baron2015">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=CwQZCwAAQBAJ|title=Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition|last=Michael Baron|date=15 September 2015|publisher=CRC Press|page=131|isbn=978-1-4987-6060-7}}</ref> [[криптографія]]<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ddsrGdsgN9sC&pg=PA269|title=Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols|last=Jonathan Katz|last2=Yehuda Lindell|date=2007-08-31|publisher=CRC Press|page=26|isbn=978-1-58488-586-3}}</ref> і [[Телекомунікації|телекомунікацій]].<ref name="BaccelliBlaszczyszyn2009">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C|title=Stochastic Geometry and Wireless Networks|last=François Baccelli|last2=Bartlomiej Blaszczyszyn|year=2009|publisher=Now Publishers Inc|isbn=978-1-60198-264-3}}</ref> Крім того, випадкові зміни у [[Фінансовий ринок|фінансових ринках]] спонукали широке використання стохастичних процесів у фінансах.<ref name="Steele2001">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=H06xzeRQgV4C|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-95016-7}}</ref><ref name="MusielaRutkowski2006">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=iojEts9YAxIC|title=Martingale Methods in Financial Modelling|last=Marek Musiela|last2=Marek Rutkowski|date=21 January 2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26653-2}}</ref><ref name="Shreve2004">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=O8kD1NwQBsQC|title=Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models|last=Steven E. Shreve|date=3 June 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-40101-0}}</ref>

Вивчення явища, в свою чергу, спровокувало вивчення нових випадкових процесів. Прикладами таких випадкових процесів вважають [[Вінерівський процес]] або Броунівський рух ,{{Efn|The term ''Brownian motion'' can refer to the physical process, also known as ''Brownian movement'', and the stochastic process, a mathematical object, but to avoid ambiguity this article uses the terms ''Brownian motion process'' or ''Wiener process'' for the latter in a style similar to, for example, Gikham and Skorokhod<ref name="GikhmanSkorokhod1969">{{cite book|author1=Iosif Ilyich Gikhman|author2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|title=Introduction to the Theory of Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C|year=1969|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-69387-3}}</ref> or Rosenblatt.<ref name="Rosenblatt1962">{{cite book|author=Murray Rosenblatt|title=Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=5-lQAAAAMAAJ|year=1962|publisher=Oxford University Press}}</ref>}} ,який використовувався [[Луї Башельє]] для вивчення зміни цін на [[Паризька біржа|Паризькій фондовій біржі]],<ref name="JarrowProtter2004">{{Cite document}}</ref> і [[Пуассонівський процес]], який використовувався А. К. Ерланген , щоб вивчити кількість телефонних дзвінків, які відбуваються в певний період часу.<ref name="Stirzaker2000">{{Cite document}}</ref> ці дві стохастичні процеси є найбільш важливими і відіграють центральну роль у теорії випадкових процесів,<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=32|isbn=978-1-4612-3166-0}}</ref> і були виявлені неодноразово і незалежно, як до, так і після Башельє і Ерланга, в різних умовах і країнах.<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012">{{Cite document}}</ref>

Термін '''випадкова функція''' також використовується для позначення стохастичного або випадкового процесу<ref name="GusakKukush2010page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=8Nzn51YTbX4C&pg=PA1|title=Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory|last=Dmytro Gusak|last2=Alexander Kukush|last3=Alexey Kulik|last4=Yuliya Mishura|last5=Andrey Pilipenko|date=10 July 2010|publisher=Springer Science & Business Media|page=21|isbn=978-0-387-87862-1}}</ref><ref name="Skorokhod2005page42">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|last=Valeriy Skorokhod|date=5 December 2005|publisher=Springer Science & Business Media|page=42|isbn=978-3-540-26312-8}}</ref> , тому що стохастичний процес можна інтерпретувати як випадковий елемент в функціональному просторі.<ref name="Lamperti1977page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|last=John Lamperti|year=1977|publisher=Springer-Verlag|pages=1– 2|isbn=978-3-540-90275-1}}</ref> у плані ''випадкового процесу'' і ''випадкового процесу'' використовуються як синоніми, часто без конкретного математичного простору для набору індексів випадкових величин.<ref name="Kallenberg2002page24">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|title=Foundations of Modern Probability|last=Olav Kallenberg|date=8 January 2002|publisher=Springer Science & Business Media|pages=24–25|isbn=978-0-387-95313-7}}</ref><ref name="ChaumontYor2012">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=1dcqV9mtQloC&pg=PR4|title=Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning|last=Loïc Chaumont|last2=Marc Yor|date=19 July 2012|publisher=Cambridge University Press|page=175|isbn=978-1-107-60655-5}}</ref> , але часто ці два терміни використовуються, коли випадкові величини індексуються [[Цілі числа|цілими числами]] або [[Проміжок|інтервал]]<nowiki/>ом на речовій прямий. Якщо випадкові величини індексуються на [[Декартова система координат|Декартовій площині]] або на [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]], то набір випадкових величин зазвичай називають випадковим полем .<ref name="AdlerTaylor2009page7">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC|title=Random Fields and Geometry|last=Robert J. Adler|last2=Jonathan E. Taylor|date=29 January 2009|publisher=Springer Science & Business Media|pages=7–8|isbn=978-0-387-48116-6}}</ref> Значення випадкового процесу не завжди є цифрами і можуть бути векторами або іншими математичними об'єктами.

На основі властивостей випадкових процесів, їх можна розділити на різні категорії, які включають в себе [[Випадкове блукання|випадкові блукання]],<ref name="LawlerLimic2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|title=Random Walk: A Modern Introduction|last=Gregory F. Lawler|last2=Vlada Limic|date=24 June 2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-48876-1}}</ref> [[Мартингал|мартингали]],<ref name="Williams1991">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=e9saZ0YSi-AC|title=Probability with Martingales|last=David Williams|date=14 February 1991|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-40605-5}}</ref> [[Ланцюги Маркова|Марківські процеси]],<ref name="RogersWilliams2000">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|last=L. C. G. Rogers|last2=David Williams|date=13 April 2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7}}</ref> [[Процес Леві|п]]<nowiki/>роцес Леві,<ref name="ApplebaumBook2004">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC|title=Lévy Processes and Stochastic Calculus|last=David Applebaum|date=5 July 2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83263-2}}</ref> [[Гауссівський процес|Гауссівські процесів]],<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=03m2UxI-UYMC|title=Lectures on Gaussian Processes|last=Mikhail Lifshits|date=2012-01-11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-24939-6}}</ref> і випадкові поля,<ref name="Adler2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA1|title=The Geometry of Random Fields|last=Robert J. Adler|date=28 January 2010|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-693-1}}</ref> [[Теорія відновлення|відновлення процесів]] і розгалужених процесів.<ref name="KarlinTaylor2012">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 December 2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref> Вивчення випадкових процесів вимагає математичних знань та методів [[Імовірність|ймовірностей]], [[Обчислення|матанализу]], [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]], [[Теорія множин|теорії множин]]<nowiki/>і [[Топологія|топології]]<ref name="Hajek2015">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Owy0BgAAQBAJ|title=Random Processes for Engineers|last=Bruce Hajek|date=12 March 2015|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-316-24124-0}}</ref><ref name="LatoucheRamaswami1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Kan2ki8jqzgC|title=Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling|last=G. Latouche|last2=V. Ramaswami|date=1 January 1999|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-425-8}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|last=D.J. Daley|last2=David Vere-Jones|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8}}</ref> , а також галузі [[Математичний аналіз|математичного аналізу]] , такі як аналіз, [[Міра множини|теорія мн]]<nowiki/>ожин, [[Аналіз Фур'є|Фур'є-аналіз]] та [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]].<ref name="Billingsley2008">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|title=Probability and Measure|last=Patrick Billingsley|date=4 August 2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8}}</ref><ref name="Brémaud2014">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|date=16 September 2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|author=Pierre Brémaud}}</ref><ref name="Bobrowski2005">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q7dR3d5nqaUC|title=Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction|last=Adam Bobrowski|date=11 August 2005|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83166-6}}</ref> Теорія випадкових процесів є важливим внеском у математику<ref name="Applebaum2004">{{Cite document}}</ref> і вона продовжує бути актуальною темою дослідження, як для теоретичних основ і додатків.<ref name="BlathImkeller2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=CyK6KAjwdYkC|title=Surveys in Stochastic Processes|last=Jochen Blath|last2=Peter Imkeller|last3=Sylvie Rœlly|year=2011|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-072-2}}</ref><ref name="Talagrand2014">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tfa5BAAAQBAJ&pg=PR4|title=Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems|last=Michel Talagrand|date=12 February 2014|publisher=Springer Science & Business Media|pages=4–|isbn=978-3-642-54075-2}}</ref><ref name="Bressloff2014VII">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Stochastic Processes in Cell Biology|last=Paul C. Bressloff|date=22 August 2014|publisher=Springer|pages=vii–ix|isbn=978-3-319-08488-6}}</ref>


== Формальне означення ==
== Формальне означення ==
Рядок 16: Рядок 24:


Якщо <math>\ T = [a, b]</math>&nbsp;— відрізок [[числова вісь|числової осі]], а параметр ''t'' інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «'''випадковий процес'''».<ref>{{cite book|title=Случайные процессы|editor-first1=В. С.|editor-last1=Зарубин|editor-first2=А. П.|editor-last2=Крищенко|year=1999|location=Москва|publisher=МГТУ им. Н. Э. Баумана|isbn=5-7038-1270-4}} {{ref-ru}}</ref>
Якщо <math>\ T = [a, b]</math>&nbsp;— відрізок [[числова вісь|числової осі]], а параметр ''t'' інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «'''випадковий процес'''».<ref>{{cite book|title=Случайные процессы|editor-first1=В. С.|editor-last1=Зарубин|editor-first2=А. П.|editor-last2=Крищенко|year=1999|location=Москва|publisher=МГТУ им. Н. Э. Баумана|isbn=5-7038-1270-4}} {{ref-ru}}</ref>

== Введення ==
Стохастичний або випадковий процес можна визначити як сукупність випадкових величин, яка індексується за деяким математичним набором, це означає, що кожна випадкова величина стохастичного процесу однозначно асоціюється з елементом в наборі. Набір , що використовується для індексації випадкових величин , називається набір індексів. Історично, набір індексів був деякою [[Підмножина|підмножиною]] з реальної лінії, такої як [[натуральні числа]], що дають набору індексів інтерпретацію в часі. Кожна випадкова величина в колекції приймає значення з того ж математичного простору відомого як '''простір станів'''. У цьому стані простір може бути, наприклад, як число, лінія або <math />-мірний Евклідовий простір.  '''Приріст''' - це сума, яку стохастичний процес змінює між двома значеннями індексу, часто інтерпретується як дві точки в часі. Стохастичний процес може мати багато випадків,через свою хаотичність, і єдиний результат випадкового процесу називається, серед інших імен, '''приклад функції''' або '''реалізація'''.
[[Файл:Wiener_process_3d.png|праворуч|міні|<span>П</span>'''риклад функції''' або '''реалізація''', серед інших термінів, тривимірний Вінерівський процес або Броунівський рух часу 0 ≤ t ≤ 2. Множина індексів цього випадкового процесу є невід'ємними числами, у той час як його простір- тривимірний Евклідовий простір.]]

=== Classifications ===
Стохастичний процес може бути класифікований по-різному, наприклад, за його простором, його набором індексів, або залежністю між випадковими величинами. Один з найпоширеніших способів класифікації є [[Потужність множини|п]]<nowiki/>отужність множини індексів і стан простору.<ref name="KarlinTaylor2012page26">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 December 2012|publisher=Academic Press|page=26|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=24 and 25|isbn=978-1-4612-3166-0}}</ref>

Якщо множина індексів випадкового процесу , що інтерпретується як час, має кінцеве або зчисленне число елементів,наприклад множина цілих або натуральних чисел, то кажуть, що випадковий процес  '''дискретний в часі'''.<ref name="Borovkov2013page527">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ|title=Probability Theory|last=Alexander A. Borovkov|date=22 June 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=527|isbn=978-1-4471-5201-9}}</ref>  Якщо множина індексів це деякий інтервал на речовій прямій, то час вважається '''безперервним'''. Два типи випадкових процесів відповідно називаються '''дискретний за часом''' і '''безперервний за часом, випадкові процеси'''.<ref name="Rosenthal2006page177">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ|title=A First Look at Rigorous Probability Theory|last=Jeffrey S Rosenthal|date=14 November 2006|publisher=World Scientific Publishing Co Inc|pages=177–178|isbn=978-981-310-165-4}}</ref> Випадкові процеси з дискретним часом вважаються більш легкими для вивчення, тому що неперервні за часом процеси вимагають більш складних математичних методів і знань, зокрема через те що множина індексів незліченна.<ref name="KloedenPlaten2013page63">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=r9r6CAAAQBAJ=PA1|title=Numerical Solution of Stochastic Differential Equations|last=Peter E. Kloeden|last2=Eckhard Platen|date=17 April 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=63|isbn=978-3-662-12616-5}}</ref><ref name="Khoshnevisan2006page153">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=XADpBwAAQBAJ|title=Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields|last=Davar Khoshnevisan|date=10 April 2006|publisher=Springer Science & Business Media|pages=153–155|isbn=978-0-387-21631-7}}</ref> Якщо множина індексів числа, або деяка їх підмножина, то випадковий процес можна назвати '''випадковою послідовністю'''

Якщо простір є простором цілих або натуральних чисел, то випадковий процес називається '''дискретним''' або '''цілочисельним випадковим процесом'''. Якщо простір є раціональним, то випадковий процес називається  '''процесом з безперервним простором станів'''. Якщо простір є  <math />-мірним Евклідовим простором, то випадковий процес називається <math />-'''вимірний векторний процес''' або <math />-'''векторний процес'''.

== Приклади випадкових процесів ==

=== Bernoulli process ===
Одним з найпростіших випадкових процесів є процес Бернуллі, , який являє собою послідовність [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних і однаково розподілених]] випадкових величин, де кожна випадкова величина приймає значення з імовірністю, скажімо, <math /> і нульове значення з імовірністю <math />. Цей процес можна порівняти з підкиданням монетки, де ймовірність отримання орла <math /> і його значення дорівнює одиниці, а значення решки дорівнює нулю.<ref name="Florescu2014page301">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 November 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=301|isbn=978-1-118-59320-2}}</ref> Іншими словами, процес Бернуллі-це послідовність випадкових величин Бернуллі,<ref name="BertsekasTsitsiklis2002page273">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=bcHaAAAAMAAJ|title=Introduction to Probability|last=Dimitri P. Bertsekas|last2=John N. Tsitsiklis|year=2002|publisher=Athena Scientific|page=273|isbn=978-1-886529-40-3}}</ref> , де кожне підкидання монети це випробовування Бернуллі .<ref name="Ibe2013page11">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=DUqaAAAAQBAJ&pg=PT10|title=Elements of Random Walk and Diffusion Processes|last=Oliver C. Ibe|date=29 August 2013|publisher=John Wiley & Sons|page=11|isbn=978-1-118-61793-9}}</ref>

=== Випадкове блукання ===
[[Випадкове блукання|Випадкові блукання]] - це стохастичні процеси, які зазвичай визначаються як суми випадкових величин або випадкових векторів в Евклідовому просторі, тому вони є процесами, які змінюються в дискретному часі.<ref name="Klenke2013page347">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=aqURswEACAAJ|title=Probability Theory: A Comprehensive Course|last=Achim Klenke|date=30 September 2013|publisher=Springer|pages=347|isbn=978-1-4471-5362-7}}</ref><ref name="LawlerLimic2010page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|title=Random Walk: A Modern Introduction|last=Gregory F. Lawler|last2=Vlada Limic|date=24 June 2010|publisher=Cambridge University Press|page=1|isbn=978-1-139-48876-1}}</ref><ref name="Kallenberg2002page136">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|title=Foundations of Modern Probability|last=Olav Kallenberg|date=8 January 2002|publisher=Springer Science & Business Media|page=136|isbn=978-0-387-95313-7}}</ref><ref name="Florescu2014page383">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 November 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=383|isbn=978-1-118-59320-2}}</ref><ref name="Durrett2010page277">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=evbGTPhuvSoC|title=Probability: Theory and Examples|last=Rick Durrett|date=30 August 2010|publisher=Cambridge University Press|page=277|isbn=978-1-139-49113-6}}</ref> Але деякі також використовують цей термін для позначення процесів, які змінюються в безперервному часу,<ref name="Weiss2006page1">{{Cite document}}</ref> , зокрема, Вінерівський процес, використовуваний в області фінансів, що призвело до деякої плутанини, що в результаті його критики.<ref name="Spanos1999page454">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=G0_HxBubGAwC|title=Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data|last=Aris Spanos|date=2 September 1999|publisher=Cambridge University Press|page=454|isbn=978-0-521-42408-0}}</ref> Є й інші різні типи випадкових блукань, визначені так, що їх простором можуть бути й інші математичні об'єкти, такі як грати і групи, і взагалі вони сильно вивчені і мають багато застосувань у різних дисциплінах.<ref name="Klebaner2005page81">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|last=Fima C. Klebaner|year=2005|publisher=Imperial College Press|page=81|isbn=978-1-86094-555-7}}</ref>

Класичний приклад випадкового блукання відомий як ''проста випадкова прогулянка'', яка являє собою випадковий процес в дискретному часі з числами в просторі станів, і на основі процесу Бернуллі, де кожна іід Бернуллі змінна приймає позитивне або негативне значення . Іншими словами, просте випадкове блукання відбувається на цілих числах, і його значення збільшується на одиницю з імовірністю, скажімо, <math />або зменшується на негативне число з ймовірністю <math />що індекс випадкового блукання-це натуральні числа, а його простір чисел - цілі числа. Якщо <math />це випадкове блукання називається симетричним випадковим блуканням.<ref name="Gut2012page88">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=XDFA-n_M5hMC|title=Probability: A Graduate Course|last=Allan Gut|date=17 October 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=88|isbn=978-1-4614-4708-5}}</ref><ref name="GrimmettStirzaker2001page71">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC|title=Probability and Random Processes|last=Geoffrey Grimmett|last2=David Stirzaker|date=31 May 2001|publisher=OUP Oxford|page=71|isbn=978-0-19-857222-0}}</ref>

=== Вінерівський процес ===
Вінерівський процес є випадковим процесом з стаціонарними і незалежними приростами, які [[Нормальний розподіл|зазвичай розподіляються]] виходячи з розміру надбавок.<ref name="RogersWilliams2000page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|last=L. C. G. Rogers|last2=David Williams|date=13 April 2000|publisher=Cambridge University Press|page=1|isbn=978-1-107-71749-7}}</ref><ref name="Klebaner2005page56">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|last=Fima C. Klebaner|year=2005|publisher=Imperial College Press|page=56|isbn=978-1-86094-555-7}}</ref> Вінерівський процес названий на честь [[Норберт Вінер|Норберта Вінера]], який довів його математичного існування, але цей процес також називають Броунівським рухом процес або Броунівський рух через його історичний зв'язок з моделлю Броунівського руху в рідинах.<ref name="Brush1968page1">{{Cite document}}</ref><ref name="Applebaum2004page1338">{{Cite document}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C&pg=PR2|title=Introduction to the Theory of Random Processes|last=Iosif Ilyich Gikhman|last2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|year=1969|publisher=Courier Corporation|page=21|isbn=978-0-486-69387-3}}</ref>
[[Файл:DriftedWienerProcess1D.svg|ліворуч|міні|Реалізація Вінерівського процесу (процеси Броунівського руху або) з дрифтом (blue) і без зміщення (red).]]
Відіграючи центральну роль у теорії ймовірності, Вінерівський процес часто вважається найбільш важливим і дослідженим стохастичним процесом, зі зв'язками з іншими випадковими процесами.<ref name="Steele2012page29">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=29|isbn=978-1-4684-9305-4}}</ref><ref name="Florescu2014page471">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 November 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=471|isbn=978-1-118-59320-2}}</ref><ref name="KarlinTaylor2012page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 December 2012|publisher=Academic Press|pages=21 and 22|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref><ref name="KaratzasShreve2014pageVIII">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|last=Ioannis Karatzas|last2=Steven Shreve|year=1991|publisher=Springer|page=VIII|isbn=978-1-4612-0949-2}}</ref><ref name="RevuzYor2013pageIX">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OYbnCAAAQBAJ|title=Continuous Martingales and Brownian Motion|last=Daniel Revuz|last2=Marc Yor|date=9 March 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=IX|isbn=978-3-662-06400-9}}</ref> Множина індексів і простір станів є невід'ємними числами і дійсними числами, відповідно.<ref name="Rosenthal2006page186">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ|title=A First Look at Rigorous Probability Theory|last=Jeffrey S Rosenthal|date=14 November 2006|publisher=World Scientific Publishing Co Inc|page=186|isbn=978-981-310-165-4}}</ref> Але цей процес може бути визначений більш широко, так що його становий простір може бути <math />-мірним Евклідоим простором.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=33|isbn=978-1-4612-3166-0}}</ref> Якщо [[Середнє значення|з]]<nowiki/>начення будь-якого приросту дорівнює нулю, то результат Вінер або процес Броунівського руху має дрейф нуля. Якщо середнє значення інкремента для будь-яких двох точок по часу дорівнює  різниці часу помноженій на деяку константу <math />, що є дійсним числом, то кажуть  випадковий процес має дрейф <math />.<ref name="Steele2012page118">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=118|isbn=978-1-4684-9305-4}}</ref><ref name="KaratzasShreve2014page78">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|last=Ioannis Karatzas|last2=Steven Shreve|year=1991|publisher=Springer|page=78|isbn=978-1-4612-0949-2}}</ref>

=== Процес Пуассона ===
Процес Пуассона або точковий процес Пуассона являє собою стохастичний процес, який має різні форми та визначення.<ref name="Tijms2003page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|title=A First Course in Stochastic Models|last=Henk C. Tijms|date=6 May 2003|publisher=Wiley|pages=1 and 2|isbn=978-0-471-49881-0}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2006chap2">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6Sv4BwAAQBAJ|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods|last=D.J. Daley|last2=D. Vere-Jones|date=10 April 2006|publisher=Springer Science & Business Media|pages=19–36|isbn=978-0-387-21564-8}}</ref> , Його можна визначити як процес підрахунку голосів, що являє собою випадковий процес, який характеризує випадкову кількість точок або подій до якогось часу. Кількість точок процесу знаходяться в інтервалі від нуля до деякого заданого часу Пуассонівської випадкової величини, яка залежить від часу і деяких параметрів. Простір станів цього процесу є натуральним числом, а множина індексів -  невід'ємним числом . Цей процес також називається Пуассонівським процесу підрахунку голосів, оскільки це може бути витлумачено як приклад процесу підрахунку голосів.

Якщо процес Пуассона визначається за допомогою однієї позитивної сталої, то процес називається однорідним процесом Пуассона.<ref name="PinskyKarlin2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PqUmjp7k1kEC|title=An Introduction to Stochastic Modeling|last=Mark A. Pinsky|last2=Samuel Karlin|year=2011|publisher=Academic Press|page=241|isbn=978-0-12-381416-6}}</ref> Однорідний Пуассонівський процес (в безперервному часі) є членом важливих класів випадкових процесів, як Марківські процеси Леві.

=== Процеси Авторегресії та плаваючого середнього ===
Процеси Авторегресії та плаваючого  середнього використовуються в моделюванні дискретних [[Емпірика|емпіричних]] даних [[Часовий ряд|часових рядів]] , особливо в [[Економіка|економіці]]. Авторегресійна модель відноситься до стохастичної змінної  в залежності від власного попереднього значення. Змінна середня модель відноситься до стохастичної змінної в залежності від поточних і минулих значень іід стохастичної змінної. Узагальнення включають [[Векторна авторегресія|векторну авторегресі]]<nowiki/>йну модель, яка передбачає моделювання більше однієї стохастичної змінної, і АРІМА модель, що включає обидва компоненти авторегресії та плаваючого середнього .

== Визначення ==

=== Стохастичний процес ===
Випадковий процес визначається як сімейство випадкових величин, визначених на загальному [[Ймовірнісний простір|імовірнісному просторі]] <math />, де <math /> це [[Простір елементарних подій|зразок]] простору, <math /> це <math />-[[Сигма-алгебра|Алгебра]] і <math />це ймовірнісної міри, і випадкові величини, індексовані деяким набором <math />всі приймають значення в однаковому математичному просторі <math />, який повинен бути [[Міра множини|вимірним]] щодо деяких <math />-алгебра <math />.

Іншими словами, дляданих ймовірнісних просторів <math /> і вимірних просторів <math />, стохастичний процес-це набір <math /> випадкових величин, яка може бути записана як:<ref name="Florescu2014page293">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 November 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=293|isbn=978-1-118-59320-2}}</ref><center class=""><math>
\{X(t):t\in T \}.
</math></center>Історично, у багатьох задачах з галузі природничих наук точка <math /> має значення часу, тоді <math /> це випадкова змінна, яка представляє значення , що спостерігається протягом часу <math />.<ref name="Borovkov2013page528">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ&pg|title=Probability Theory|last=Alexander A. Borovkov|date=22 June 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=528|isbn=978-1-4471-5201-9}}</ref> Стохастичний процес також може бути запсаний як <math /> щоб відобразити, що це насправді функція двох змінних, <math /> і <math />.<ref name="LindgrenRootzen2013page11">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=FYJFAQAAQBAJ&pg=PR1|title=Stationary Stochastic Processes for Scientists and Engineers|last=Georg Lindgren|last2=Holger Rootzen|last3=Maria Sandsten|date=11 October 2013|publisher=CRC Press|pages=11|isbn=978-1-4665-8618-5}}</ref>

=== Множина індексів ===
Набір <math /> називається '''множиною індексів'''  стохастичного процесу. Часто цей набір підмножини реальної лінії, наприклад, [[натуральні числа]] або інтервали, які дають набору <math /> інтерпретацію в часі. На додаток до цих наборів, множиною індексів <math /> можуть бути й інші лінійно впорядковані множини або більш загальні математичні набори,<ref name="Billingsley2008page482">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|title=Probability and Measure|last=Patrick Billingsley|date=4 August 2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|page=482|isbn=978-81-265-1771-8}}</ref> наприклад, в Декартовій площині <math /> або <math />-мірному Евклідовому просторі, де елемент <math /> може являти собою точки в просторі.<ref name="KarlinTaylor2012page27">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 December 2012|publisher=Academic Press|page=27|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 December 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=25|isbn=978-1-4612-3166-0}}</ref> <ref name="Skorokhod2005page104">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|last=Valeriy Skorokhod|date=5 December 2005|publisher=Springer Science & Business Media|page=104|isbn=978-3-540-26312-8}}</ref>

=== Простір станів ===
Математичний простір <math /> називається '''простором станів''' стохастичного процесу. Цей математичний простір може бути цілим числом, раціональним числом, <math />-мірним Евклідовим простором, в комплексній площині або інших математичних просторах, в якому відображені різні значення, які стохастичний процес може зайняти.<ref name="Florescu2014page294">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 November 2014|publisher=John Wiley & Sons|pages=294 and 295|isbn=978-1-118-59320-2}}</ref><ref name="Brémaud2014page120">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|date=16 September 2014|publisher=Springer|page=120|isbn=978-3-319-09590-5|author=Pierre Brémaud}}</ref>



== Див. також ==
== Див. також ==

Версія за 17:56, 14 травня 2017

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Процес.

Випадко́вий проце́с (англ. stochastic process) — важливе поняття сучасної теорії ймовірностей. Є певним узагальненням поняття випадкова величина, а саме — це випадкова величина, що змінюється з часом (іншими словами: випадкова величина, що залежить від змінної величини, яку називають час, або іншими словами — це набір випадкових величин, параметризованих величиною T — часом).

Розрізняють випадкові процеси з дискретним і неперервним часом.[1]

Випадкові процеси широко застосовуються в багатьох галузях науки і техніки. Теорія випадкових процесів має велике значення для сучасної фінансової та актуарної математики.

Наукові дослідження в галузі теорії випадкових процесів та її застосувань проводяться по всьому світу. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної самоподібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як дробовий броунівський рух та побудовані на ньому стохастичні числення.

Комп'ютерно змодельована реалізація процесу Вінера або процесу Броунівського руху на поверхню кулі.  Вінерівський процес вважається найбільш вивченим і це базовий  випадковий процес в теорії ймовірності.

В теорії ймовірності та суміжних областях,  стохастичний або випадковий процес це математичний об'єкт який зазвичай визначається як сукупність випадкових величин. Історично склалося так, що випадкові змінні були пов'язані з набором цифр які, як правило, розглядалися в якості моментів в часі, даючи тлумачення стохастичному процесу, який представляє числові значення деякої системи яка випадковим чином  змінюється з плином часу. Наприклад,  зростання бактеріальної популяції, електричний струм коливається у зв'язку з тепловим шумом або рухом газових молекул.[2][3][4] Випадкові процеси широко застосовуються в якості математичних моделей систем та явищ, які з'являються, змінюються у випадковому порядку. Вони знаходять своє застосування в багатьох дисциплінах, включаючи такі науки , такі як біологія,[5] хімія,[6] екологія,[7] неврологія,[8] і фізика[9] , а також технологій і технічних галузях, таких як обробка зображень, обробка сигналів,[10] теорія інформації,[11] інформатика,[12] криптографія[13] і телекомунікацій.[14] Крім того, випадкові зміни у фінансових ринках спонукали широке використання стохастичних процесів у фінансах.[15][16][17]

Вивчення явища, в свою чергу, спровокувало вивчення нових випадкових процесів. Прикладами таких випадкових процесів вважають Вінерівський процес або Броунівський рух ,[a] ,який використовувався Луї Башельє для вивчення зміни цін на Паризькій фондовій біржі,[20] і Пуассонівський процес, який використовувався А. К. Ерланген , щоб вивчити кількість телефонних дзвінків, які відбуваються в певний період часу.[21] ці дві стохастичні процеси є найбільш важливими і відіграють центральну роль у теорії випадкових процесів,[22] і були виявлені неодноразово і незалежно, як до, так і після Башельє і Ерланга, в різних умовах і країнах.[23]

Термін випадкова функція також використовується для позначення стохастичного або випадкового процесу[24][25] , тому що стохастичний процес можна інтерпретувати як випадковий елемент в функціональному просторі.[26] у плані випадкового процесу і випадкового процесу використовуються як синоніми, часто без конкретного математичного простору для набору індексів випадкових величин.[27][28] , але часто ці два терміни використовуються, коли випадкові величини індексуються цілими числами або інтервалом на речовій прямий. Якщо випадкові величини індексуються на Декартовій площині або на Евклідовому просторі, то набір випадкових величин зазвичай називають випадковим полем .[29] Значення випадкового процесу не завжди є цифрами і можуть бути векторами або іншими математичними об'єктами.

На основі властивостей випадкових процесів, їх можна розділити на різні категорії, які включають в себе випадкові блукання,[30] мартингали,[31] Марківські процеси,[32] процес Леві,[33] Гауссівські процесів,[34] і випадкові поля,[35] відновлення процесів і розгалужених процесів.[36] Вивчення випадкових процесів вимагає математичних знань та методів ймовірностей, матанализу, лінійної алгебри, теорії множині топології[37][38][39] , а також галузі математичного аналізу , такі як аналіз, теорія множин, Фур'є-аналіз та функціонального аналізу.[40][41][42] Теорія випадкових процесів є важливим внеском у математику[43] і вона продовжує бути актуальною темою дослідження, як для теоретичних основ і додатків.[44][45][46]

Формальне означення

Нехай  — ймовірнісний простір;  — вимірний простір; t — параметр, сукупність значень якого, є, в загальному випадку, довільною множиною;  — елементарна подія.

Випадковою функцією , , називають вимірне відображення простору елементарних подій в , що залежить від параметру t.

Якщо  — відрізок числової осі, а параметр t інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «випадковий процес».[47]

Введення

Стохастичний або випадковий процес можна визначити як сукупність випадкових величин, яка індексується за деяким математичним набором, це означає, що кожна випадкова величина стохастичного процесу однозначно асоціюється з елементом в наборі. Набір , що використовується для індексації випадкових величин , називається набір індексів. Історично, набір індексів був деякою підмножиною з реальної лінії, такої як натуральні числа, що дають набору індексів інтерпретацію в часі. Кожна випадкова величина в колекції приймає значення з того ж математичного простору відомого як простір станів. У цьому стані простір може бути, наприклад, як число, лінія або -мірний Евклідовий простір.  Приріст - це сума, яку стохастичний процес змінює між двома значеннями індексу, часто інтерпретується як дві точки в часі. Стохастичний процес може мати багато випадків,через свою хаотичність, і єдиний результат випадкового процесу називається, серед інших імен, приклад функції або реалізація.

Приклад функції або реалізація, серед інших термінів, тривимірний Вінерівський процес або Броунівський рух часу 0 ≤ t ≤ 2. Множина індексів цього випадкового процесу є невід'ємними числами, у той час як його простір- тривимірний Евклідовий простір.

Classifications

Стохастичний процес може бути класифікований по-різному, наприклад, за його простором, його набором індексів, або залежністю між випадковими величинами. Один з найпоширеніших способів класифікації є потужність множини індексів і стан простору.[48][49]

Якщо множина індексів випадкового процесу , що інтерпретується як час, має кінцеве або зчисленне число елементів,наприклад множина цілих або натуральних чисел, то кажуть, що випадковий процес  дискретний в часі.[50]  Якщо множина індексів це деякий інтервал на речовій прямій, то час вважається безперервним. Два типи випадкових процесів відповідно називаються дискретний за часом і безперервний за часом, випадкові процеси.[51] Випадкові процеси з дискретним часом вважаються більш легкими для вивчення, тому що неперервні за часом процеси вимагають більш складних математичних методів і знань, зокрема через те що множина індексів незліченна.[52][53] Якщо множина індексів числа, або деяка їх підмножина, то випадковий процес можна назвати випадковою послідовністю

Якщо простір є простором цілих або натуральних чисел, то випадковий процес називається дискретним або цілочисельним випадковим процесом. Якщо простір є раціональним, то випадковий процес називається  процесом з безперервним простором станів. Якщо простір є  -мірним Евклідовим простором, то випадковий процес називається -вимірний векторний процес або -векторний процес.

Приклади випадкових процесів

Bernoulli process

Одним з найпростіших випадкових процесів є процес Бернуллі, , який являє собою послідовність незалежних і однаково розподілених випадкових величин, де кожна випадкова величина приймає значення з імовірністю, скажімо, і нульове значення з імовірністю . Цей процес можна порівняти з підкиданням монетки, де ймовірність отримання орла  і його значення дорівнює одиниці, а значення решки дорівнює нулю.[54] Іншими словами, процес Бернуллі-це послідовність випадкових величин Бернуллі,[55] , де кожне підкидання монети це випробовування Бернуллі .[56]

Випадкове блукання

Випадкові блукання - це стохастичні процеси, які зазвичай визначаються як суми випадкових величин або випадкових векторів в Евклідовому просторі, тому вони є процесами, які змінюються в дискретному часі.[57][58][59][60][61] Але деякі також використовують цей термін для позначення процесів, які змінюються в безперервному часу,[62] , зокрема, Вінерівський процес, використовуваний в області фінансів, що призвело до деякої плутанини, що в результаті його критики.[63] Є й інші різні типи випадкових блукань, визначені так, що їх простором можуть бути й інші математичні об'єкти, такі як грати і групи, і взагалі вони сильно вивчені і мають багато застосувань у різних дисциплінах.[64]

Класичний приклад випадкового блукання відомий як проста випадкова прогулянка, яка являє собою випадковий процес в дискретному часі з числами в просторі станів, і на основі процесу Бернуллі, де кожна іід Бернуллі змінна приймає позитивне або негативне значення . Іншими словами, просте випадкове блукання відбувається на цілих числах, і його значення збільшується на одиницю з імовірністю, скажімо, або зменшується на негативне число з ймовірністю що індекс випадкового блукання-це натуральні числа, а його простір чисел - цілі числа. Якщо це випадкове блукання називається симетричним випадковим блуканням.[65][66]

Вінерівський процес

Вінерівський процес є випадковим процесом з стаціонарними і незалежними приростами, які зазвичай розподіляються виходячи з розміру надбавок.[67][68] Вінерівський процес названий на честь Норберта Вінера, який довів його математичного існування, але цей процес також називають Броунівським рухом процес або Броунівський рух через його історичний зв'язок з моделлю Броунівського руху в рідинах.[69][70][71]

Реалізація Вінерівського процесу (процеси Броунівського руху або) з дрифтом (blue) і без зміщення (red).

Відіграючи центральну роль у теорії ймовірності, Вінерівський процес часто вважається найбільш важливим і дослідженим стохастичним процесом, зі зв'язками з іншими випадковими процесами.[72][73][74][75][76] Множина індексів і простір станів є невід'ємними числами і дійсними числами, відповідно.[77] Але цей процес може бути визначений більш широко, так що його становий простір може бути -мірним Евклідоим простором.[78] Якщо значення будь-якого приросту дорівнює нулю, то результат Вінер або процес Броунівського руху має дрейф нуля. Якщо середнє значення інкремента для будь-яких двох точок по часу дорівнює  різниці часу помноженій на деяку константу , що є дійсним числом, то кажуть  випадковий процес має дрейф .[79][80]

Процес Пуассона

Процес Пуассона або точковий процес Пуассона являє собою стохастичний процес, який має різні форми та визначення.[81][82] , Його можна визначити як процес підрахунку голосів, що являє собою випадковий процес, який характеризує випадкову кількість точок або подій до якогось часу. Кількість точок процесу знаходяться в інтервалі від нуля до деякого заданого часу Пуассонівської випадкової величини, яка залежить від часу і деяких параметрів. Простір станів цього процесу є натуральним числом, а множина індексів -  невід'ємним числом . Цей процес також називається Пуассонівським процесу підрахунку голосів, оскільки це може бути витлумачено як приклад процесу підрахунку голосів.

Якщо процес Пуассона визначається за допомогою однієї позитивної сталої, то процес називається однорідним процесом Пуассона.[83] Однорідний Пуассонівський процес (в безперервному часі) є членом важливих класів випадкових процесів, як Марківські процеси Леві.

Процеси Авторегресії та плаваючого середнього 

Процеси Авторегресії та плаваючого  середнього використовуються в моделюванні дискретних емпіричних даних часових рядів , особливо в економіці. Авторегресійна модель відноситься до стохастичної змінної  в залежності від власного попереднього значення. Змінна середня модель відноситься до стохастичної змінної в залежності від поточних і минулих значень іід стохастичної змінної. Узагальнення включають векторну авторегресійну модель, яка передбачає моделювання більше однієї стохастичної змінної, і АРІМА модель, що включає обидва компоненти авторегресії та плаваючого середнього .

Визначення

Стохастичний процес

Випадковий процес визначається як сімейство випадкових величин, визначених на загальному імовірнісному просторі , де це зразок простору, це -Алгебра і це ймовірнісної міри, і випадкові величини, індексовані деяким набором всі приймають значення в однаковому математичному просторі , який повинен бути вимірним щодо деяких -алгебра .

Іншими словами, дляданих ймовірнісних просторів  і вимірних просторів , стохастичний процес-це набір  випадкових величин, яка може бути записана як:[84]

Історично, у багатьох задачах з галузі природничих наук точка має значення часу, тоді  це випадкова змінна, яка представляє значення , що спостерігається протягом часу .[85] Стохастичний процес також може бути запсаний як щоб відобразити, що це насправді функція двох змінних, і .[86]

Множина індексів

Набір називається множиною індексів  стохастичного процесу. Часто цей набір підмножини реальної лінії, наприклад, натуральні числа або інтервали, які дають набору  інтерпретацію в часі. На додаток до цих наборів, множиною індексів  можуть бути й інші лінійно впорядковані множини або більш загальні математичні набори,[87] наприклад, в Декартовій площині або -мірному Евклідовому просторі, де елемент може являти собою точки в просторі.[88][89] [90]

Простір станів

Математичний простір називається простором станів стохастичного процесу. Цей математичний простір може бути цілим числом, раціональним числом, -мірним Евклідовим простором, в комплексній площині або інших математичних просторах, в якому відображені різні значення, які стохастичний процес може зайняти.[91][92]


Див. також

Примітки

  1. ↑ Скороход А. В. Лекції з теорії випадкових процесів — Київ, Либідь, 1990
  2. ↑ Joseph L. Doob (1990). Stochastipoic processes. Wiley. с. 46 and 47.
  3. ↑ Emanuel Parzen (17 June 2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. с. 7 and 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
  4. ↑ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. с. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
  5. ↑ Paul C. Bressloff (22 August 2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
  6. ↑ N.G. Van Kampen (30 August 2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
  7. ↑ Russell Lande; Steinar Engen; Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
  8. ↑ Carlo Laing; Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-923507-0.
  9. ↑ Wolfgang Paul; Jörg Baschnagel (11 July 2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
  10. ↑ Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  11. ↑ Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (28 November 2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. с. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
  12. ↑ Michael Baron (15 September 2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. с. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
  13. ↑ Jonathan Katz; Yehuda Lindell (31 серпня 2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. с. 26. ISBN 978-1-58488-586-3.
  14. ↑ François Baccelli; Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
  15. ↑ J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
  16. ↑ Marek Musiela; Marek Rutkowski (21 January 2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
  17. ↑ Steven E. Shreve (3 June 2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
  18. ↑ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
  19. ↑ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press.
  20. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  21. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  22. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (6 December 2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. с. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  23. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  24. ↑ Dmytro Gusak; Alexander Kukush; Alexey Kulik; Yuliya Mishura; Andrey Pilipenko (10 July 2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. с. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  25. ↑ Valeriy Skorokhod (5 December 2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. с. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  26. ↑ John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. с. 1—2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  27. ↑ Olav Kallenberg (8 January 2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. с. 24—25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  28. ↑ Loïc Chaumont; Marc Yor (19 July 2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. с. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  29. ↑ Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (29 January 2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. с. 7—8. ISBN 978-0-387-48116-6.
  30. ↑ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (24 June 2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
  31. ↑ David Williams (14 February 1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
  32. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (13 April 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
  33. ↑ David Applebaum (5 July 2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
  34. ↑ Mikhail Lifshits (11 січня 2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
  35. ↑ Robert J. Adler (28 January 2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
  36. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2 December 2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9.
  37. ↑ Bruce Hajek (12 March 2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
  38. ↑ G. Latouche; V. Ramaswami (1 January 1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  39. ↑ D.J. Daley; David Vere-Jones (12 November 2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
  40. ↑ Patrick Billingsley (4 August 2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1771-8.
  41. ↑ Pierre Brémaud (16 September 2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
  42. ↑ Adam Bobrowski (11 August 2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
  43. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  44. ↑ Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Rœlly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-072-2.
  45. ↑ Michel Talagrand (12 February 2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. с. 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
  46. ↑ Paul C. Bressloff (22 August 2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. с. vii—ix. ISBN 978-3-319-08488-6.
  47. ↑ Зарубин, В. С.; Крищенко, А. П., ред. (1999). Случайные процессы. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана. ISBN 5-7038-1270-4. (рос.)
  48. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2 December 2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. с. 26. ISBN 978-0-08-057041-9.
  49. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (6 December 2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. с. 24 and 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  50. ↑ Alexander A. Borovkov (22 June 2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. с. 527. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  51. ↑ Jeffrey S Rosenthal (14 November 2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. с. 177—178. ISBN 978-981-310-165-4.
  52. ↑ Peter E. Kloeden; Eckhard Platen (17 April 2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. с. 63. ISBN 978-3-662-12616-5.
  53. ↑ Davar Khoshnevisan (10 April 2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. с. 153—155. ISBN 978-0-387-21631-7.
  54. ↑ Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. с. 301. ISBN 978-1-118-59320-2.
  55. ↑ Dimitri P. Bertsekas; John N. Tsitsiklis (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. с. 273. ISBN 978-1-886529-40-3.
  56. ↑ Oliver C. Ibe (29 August 2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. с. 11. ISBN 978-1-118-61793-9.
  57. ↑ Achim Klenke (30 September 2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. с. 347. ISBN 978-1-4471-5362-7.
  58. ↑ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (24 June 2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. с. 1. ISBN 978-1-139-48876-1.
  59. ↑ Olav Kallenberg (8 January 2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. с. 136. ISBN 978-0-387-95313-7.
  60. ↑ Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. с. 383. ISBN 978-1-118-59320-2.
  61. ↑ Rick Durrett (30 August 2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. с. 277. ISBN 978-1-139-49113-6.
  62. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  63. ↑ Aris Spanos (2 September 1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. с. 454. ISBN 978-0-521-42408-0.
  64. ↑ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. с. 81. ISBN 978-1-86094-555-7.
  65. ↑ Allan Gut (17 October 2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. с. 88. ISBN 978-1-4614-4708-5.
  66. ↑ Geoffrey Grimmett; David Stirzaker (31 May 2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. с. 71. ISBN 978-0-19-857222-0.
  67. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (13 April 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. с. 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
  68. ↑ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. с. 56. ISBN 978-1-86094-555-7.
  69. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  70. ↑ {{cite journal}}: Порожнє посилання на джерело (довідка)
  71. ↑ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. с. 21. ISBN 978-0-486-69387-3.
  72. ↑ J. Michael Steele (6 December 2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. с. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  73. ↑ Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. с. 471. ISBN 978-1-118-59320-2.
  74. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2 December 2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. с. 21 and 22. ISBN 978-0-08-057041-9.
  75. ↑ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. с. VIII. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  76. ↑ Daniel Revuz; Marc Yor (9 March 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer Science & Business Media. с. IX. ISBN 978-3-662-06400-9.
  77. ↑ Jeffrey S Rosenthal (14 November 2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. с. 186. ISBN 978-981-310-165-4.
  78. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (6 December 2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. с. 33. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  79. ↑ J. Michael Steele (6 December 2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. с. 118. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  80. ↑ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. с. 78. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  81. ↑ Henk C. Tijms (6 May 2003). A First Course in Stochastic Models. Wiley. с. 1 and 2. ISBN 978-0-471-49881-0.
  82. ↑ D.J. Daley; D. Vere-Jones (10 April 2006). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer Science & Business Media. с. 19—36. ISBN 978-0-387-21564-8.
  83. ↑ Mark A. Pinsky; Samuel Karlin (2011). An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press. с. 241. ISBN 978-0-12-381416-6.
  84. ↑ Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. с. 293. ISBN 978-1-118-59320-2.
  85. ↑ Alexander A. Borovkov (22 June 2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. с. 528. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  86. ↑ Georg Lindgren; Holger Rootzen; Maria Sandsten (11 October 2013). Stationary Stochastic Processes for Scientists and Engineers. CRC Press. с. 11. ISBN 978-1-4665-8618-5.
  87. ↑ Patrick Billingsley (4 August 2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. с. 482. ISBN 978-81-265-1771-8.
  88. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2 December 2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. с. 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
  89. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (6 December 2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. с. 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  90. ↑ Valeriy Skorokhod (5 December 2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. с. 104. ISBN 978-3-540-26312-8.
  91. ↑ Ionut Florescu (7 November 2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. с. 294 and 295. ISBN 978-1-118-59320-2.
  92. ↑ Pierre Brémaud (16 September 2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. с. 120. ISBN 978-3-319-09590-5.

Література

  • Основи теорії випадкових процесів: В 6-ти ч. Ч. 1 / Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський ; Під заг. ред. Є. Ф. Царкова. — Чернівці: Зелена Буковина, 1999. — 296 c. — (Лекції з теорії стохастичного моделювання).
  • Стохастичні динамічні системи із скінченною післядією: В 6-ти ч. Ч. 2 / М. Л. Свердан, Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський ; Під заг. ред. Є. Ф. Царкова. — Чернівці: Зелена Буковина, 2000. — 557 c. — (Лекції з теорії стохастичного моделювання).
  • Стійкість у стохастичному моделюванні складних динамічних систем: Монографія / М. Л. Свердан, Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський. — Снятин: Над Прутом, 1996. — 448 c.
  • Елементи теорії випадкових процесів: Навч. посіб. / Ю. К. Рудавський, П. П. Костробій, О. Ю. Лозинський, Д. В. Уханська; Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л., 2004. — 239 c. — Бібліогр.: 21 назва.


Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (лютий 2017)
Статистика Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.


Помилка цитування: Теги <ref> існують для групи під назвою «lower-alpha», але не знайдено відповідного тегу <references group="lower-alpha"/>

Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Випадковий_процес&oldid=20331020