Нотація диференціювання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Нотація Лейбніца)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У диференціальному численні немає єдиного позначення для диференціювання. Натомість різні математики в свій час запропонували різні позначення для похідної функції. Використання якоїсь із нотацій залежить від контексту, і, іноді, вигідно використовувати більше однієї нотації. Найпоширеніші позначення для диференціювання (і його протилежної операції, «антидиференціювання», тобто невизначеного інтегрування) перераховані нижче.

Позначення Лейбніца

[ред. | ред. код]
dy
dx
d2y
dx2
Перша та друга похідна від y по x записана у нотації Лейбніца

Оригінальна нотація, яка була запропонована Готфрідом Лейбніцем, є однією з найпоширеніших у математиці. Вона використовується, коли при диференціюванні функції необхідно підкреслити зв'язок між залежною та незалежною змінними та . Згідно нотації Лейбніца запис похідної як

робить цю залежність явною.

Також похідна від за може записуватись так:

Похідні вищих порядків записуються за допомогою формул

Цей запис «слідує» від формальних маніпуляцій із символами, тобто,

Значення похідної у конкретній точці за допомогою позначень Лейбніца можна записати двома способами, а саме:

.

Нотація Лейбніца дозволяє явно вказати змінну по якій здійснюється диференціювання (у знаменнику виразу). Це особливо корисно при розгляді часткових похідних для функцій багатьох змінних. Це також значно полегшує запам'ятовування та розпізнавання ланцюгового правила диференціювання складеної функції:

У нотації Лейбніца для диференціювання символи та не потребують надання їм якогось визначеного змісту як вирази самі по собі. Сам Лейбніц трактував ці символи як нескінченно малі. Пізніші автори надали їм інші значення, наприклад, вони розглядаються як нескінченно малі величини в нестандартному аналізі або як зовнішні похідні.

Деякі автори та журнали встановлюють стиль написання диференціального символу римським стилем (roman type) замість курсиву : dx.

Позначення Лейбніца для інтегрування

[ред. | ред. код]

Невизначений інтеграл та подвійний невизначений інтеграл від y по x у записі Лейбніца.

Лейбніц ввів символ інтегралу в працях «Analyseos tetragonisticae pars secunda» та «Methodi tangentium inversae exempla» (обидві з 1675 року). Зараз це стандартний символ інтегрування у математиці.

Позначення Лагранжа

[ред. | ред. код]
f ' (x)
Функція f змінної x, продиференційована один раз та записана у нотації Лагранжа

Ще одне з найпоширеніших сучасних позначень диференціювання названо на честь Жозефа Луї Лагранжа, хоча насправді воно було запроваджено Ейлером і лише популяризовано першим. У нотації Лагранжа штрих позначає похідну. Якщо є функцією від , то її похідна за записується як

Вперше у друкованій праці таке позначення з'явилося у 1749 році[1] .

Вищі похідні позначаються за допомогою додаткових штрихів, як у для другої похідної і для третьої похідної відповідно. Оскільки використання повторюваних штрихів для похідних високих порядків стає дуже громіздким, то деякі автори продовжують використовувати римські цифри, зазвичай у нижньому регістрі,[2][3] як у записі

для позначення похідних четвертого, п'ятого, шостого та вищих порядків. Інші автори використовують арабські цифри в дужках, як в

Цей запис також дає змогу описати -ту похідну, де  — деяке довільне натуральне число, як

Символи Unicode для нотації Лагранжа включають

  • U+2032 ◌′ PRIME (derivative)
  • U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (double derivative)
  • U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (third derivative)
  • U+2057 ◌⁗ QUADRUPLE PRIME (fourth derivative)

Якщо є дві незалежні змінні для функції , то можна дотримуватися такої конвенції (застосовується рідко):[4]

Позначення Лагранжа для інтегрування

[ред. | ред. код]
f (−1)(x)
f(−2)(x)
Невизначений інтеграл та подвійний невизначений інтеграл від f по x у записі Лагранжа

Беручи первісну (антидиференціювання першого порядку), Лагранж дотримувався позначення Лейбніца:[5]

Однак, оскільки інтегрування є оберненою до диференціювання операцією, то позначення Лагранжа для похідних вищого порядку поширюють і на інтеграли також. Повторювані інтеграли від тоді записують як

для першого інтеграла (однак це позначення легко сплутати з оберненою функцією ),
для другого інтеграла, тобто
для третього інтеграла, та
для n -го інтеграла.

Позначення Ейлера

[ред. | ред. код]
Dx y
D2f
Похідна по x від y та друга похідна від f , нотація Ейлера.

Нотація Леонарда Ейлера (1707-1783) використовує для позначення похідної диференціальний оператор, запропонований у 1789 році Луї Франсуа Антуаном Арбогастом (1759-1803), який позначається символом (оператор D)[6] або (оператор Ньютона–Лейбніца)[7]. У застосуванні до функції похідна позначається як

Вищі похідні позначаються як «степені» оператора (де верхні індекси позначають ітеровану композицію ), як у[4]

для другої похідної,
для третьої похідної, і
для -ї похідної.

Нотація Ейлера залишає неявною змінну, щодо якої виконується диференціювання. Однак ця змінна також може бути позначена явно, зазвичай нижнім індексом як у наступних прикладах:[4]

для першої похідної по змінній ,
для другої похідної,
для третьої похідної, і
для -ї похідної, де .

Коли є функцією кількох змінних, прийнято використовувати символ «∂», стилізовану малу літеру d курсивом, а не " ". Як і вище, нижні індекси позначають змінні по яких беруться похідні, а їх кількість визначає порядок цих похідних. Наприклад, другі частинні похідні функції записуються як:[4]

Див. § Часткові похідні.

D−1
x
y
D−2f
Неозначений інтеграл по x від y та подвійний неозначений інтеграл від f, позначення Ейлера.

Нотація Ейлера корисна при формулюванні та розв'язуванні лінійних диференціальних рівнянь, оскільки вона спрощує представлення диференціального рівняння, що може полегшити виявлення суттєвих елементів задачі.

Позначення Ейлера для інтегрування

[ред. | ред. код]

Нотація Ейлера використовується для позначення інтегрування в той же спосіб, як і позначення Лагранжа,[8] тобто[7]

для першого інтеграла,
для другого інтеграла (інтеграла від інтеграла), і
для n-ого інтеграла.

Позначення Ньютона

[ред. | ред. код]
Перша та друга похідна по x, позначення Ньютона.

Нотація Ісаака Ньютона для диференціювання (яку ще також називають крапковою нотацією) для позначення похідної використовує крапку над залежною змінною. Тобто, якщо є функцією від , то похідна від по записується так:

Вищі похідні позначаються відповідною кількістю крапок, тобто

Сам Ісаак Ньютон розширив цю ідею для похідних досить високих порядків наступним чином:[9]

Позначення Ньютона зазвичай використовується, коли незалежна змінна позначає час. Якщо позначає положення у просторі і є функцією від , тоді позначає швидкість[10] та позначає прискорення .[11] Це позначення популярне у фізиці та математичній фізиці. Він також часом використовуться в областях математики, пов'язаних з фізикою, зокрема у деяких розділах теорії диференціальних рівнянь.

При взятті похідної залежної змінної існує також альтернативне позначення:[12]

Ньютон також розробив позначення для часткових похідних функцій багатьох змінних, використовуючи бічні точки при вигнутому X (ⵋ). Приклади деяких з цих позначень наведено нижче:[13][14]

Позначення Ньютона для інтегрування

[ред. | ред. код]
Одинарний та подвійний (повторний) інтеграл від x, в позначеннях Ньютона

Ньютон розробив багато різних позначень для інтегрування у своїй роботі «Quadratura curvarum» (1704) і пізніших роботах: він використовував маленьку вертикальну риску або штрих над залежною змінною (), прямокутник із префіксом (y) або включення відповідного елемента в прямокутник (y) для позначення флюента (інтегралу по часу).

Для позначення кількох інтегралів Ньютон використовував дві маленькі вертикальні риски або штрихи (), або комбінацію попередніх символів , щоб позначити другий інтеграл по часовій змінній.

Інтеграли вищого порядку по часу позначалися так:[15]

Ця математична нотація не набула широкого поширення через труднощі з друком і суперечку між Лейбніцом та Ньютоном.

Часткові похідні

[ред. | ред. код]
fxfxy
Функція f продиференційована по x, а також по x і потім по y.

Коли потрібно позначити більш конкретний тип диференціювання, наприклад, у багатовимірному аналізі або тензорному аналізі, поширеними є наступні позначення, які описані нижче.

Для функції незалежної змінної похідну записують за допомогою незалежної змінної у нижньому індексі :

Наступний тип позначення особливо корисний для позначення частинних похідних функції кількох змінних.

∂f/∂x
Частинна похідна функції f по x.

Часткові похідні зазвичай відрізняються від звичайних похідних заміною диференціального оператора на символ " ". Наприклад, ми можемо записати частинну похідну по , але не по або кількома способами:

Що робить таке розрізнення важливим, так це те, що не часткова похідна, записана як може в такому випадку, залежно від контексту, інтерпретуватися як швидкість зміни щодо коли всі змінні можуть змінюватися одночасно, тоді як із частковою похідною, як-от випливає, що тільки одна змінна повинна змінюватися (всі змінні окрім при обчисленні такої похідної вважаються фіксованими параметрами).

Інші нотації можна знайти в різних підгалузях математики, фізики та техніки; дивіться, наприклад, співвідношення термодинаміки Максвелла. Символ є похідною від температури по об'єму при збереженні постійної ентропії (нижнього індексу) , тоді як є похідною від температури по об'єму при збереженні постійного тиску . Це необхідно у ситуаціях, коли кількість змінних перевищує ступінь свободи, тому потрібно вибирати, які інші змінні залишати фіксованими.

Часткові похідні вищого порядку за однією змінною записуються як

і так далі. Змішані часткові похідні можна записати як

В цьому останньому випадку змінні записуються в зворотному порядку між двома позначеннями, що пояснюється таким чином:

Так звана багатоіндексна нотація використовується в ситуаціях, коли наведена вище нотація стає громіздкою або недостатньо виразною. При розгляді функцій на , мультиіндекс визначається як упорядкований список цілих невід'ємних чисел: . Потім для , запроваджується позначення

Таким чином деякі результати (такі як правило Лейбніца), які громіздко писати іншими способами, можна виразити коротко — деякі приклади можна знайти в статті про мультиіндекси.[16]

Позначення у векторному аналізі

[ред. | ред. код]

Векторне числення стосується диференціювання та інтегрування векторних або скалярних полів. Кілька позначень, специфічних для випадку тривимірного евклідового простору, є загально прийнятими і будуть описані нижче.

Нехай  — задана декартова система координат, A — векторне поле з компонентами , а  — задане скалярне поле .

Диференціальний оператор, введений Вільямом Ровеном Гамільтоном, і позначений як та називається оператором Гамільтона, оператором градієнту чи оператором набла, символічно визначається у формі вектора,

де термінологія символічно відображає те, що сам оператор ∇ також буде розглядатися як звичайний вектор.

φ
Градієнт скалярного поля .
  • Градієнт : градієнт скалярного поля є вектором, який символічно виражається множенням ∇ і скалярного поля (по суті тут ми маємо множення вектора на число),
∇∙A
Дивергенція векторного поля A.
  • Дивергенція : Дивергенція (розбіжність) векторного поля A є скаляром, який символічно виражається скалярним добутком ∇ на вектор A ,
2φ
Лапласіан скалярного поля .
  • Лапласіан : Лапласіан або оператор Лапласа скалярного поля є скаляром, який символічно виражається скалярним добутком ∇ 2 і скалярним полем φ ,
∇×A
Ротор векторного поля A.
  • Ротор : Ротор , або , векторного поля A є вектором, який символічно виражається векторним добутком ∇ на вектор A ,

Багато символьних операцій з похідними можна узагальнити безпосередньо за допомогою оператора градієнта в декартових координатах. Наприклад, правило добутку для похідної від функції однієї змінної має прямий аналог у множенні скалярних полів із застосуванням оператора градієнта, як у

Багато інших правил з математичного аналізу функцій однієї змінної мають аналоги у векторному аналізі для градієнта, дивергенції, ротора та Лапласіана.

Ряд позначень були розроблені і для більш екзотичних типів просторів. Зокрема, для обчислень у просторі Мінковського оператор Даламбера, також званий Даламбертіаном або хвильовим оператором, позначається як , або як коли не призводить до плутанини із символом Лапласа.

Див. також

[ред. | ред. код]

Список літератури

[ред. | ред. код]
  1. Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martin, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich. Nova acta eruditorum: Anno ... Publicata.
  2. Morris, Carla C. (28 липня 2015). Fundamentals of calculus. Hoboken, New Jersey. ISBN 9781119015314. OCLC 893974565.
  3. Osborne, George A. (1908). Differential and Integral Calculus. Boston: D. C. Heath and co. с. 63-65.
  4. а б в г The Differential and Integral Calculus (Augustus De Morgan, 1842). pp. 267—268
  5. [Жозеф Луї Лагранж|Lagrange]], Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
  6. The D operator - Differential - Calculus - Maths Reference with Worked Examples. www.codecogs.com. Архів оригіналу за 19 січня 2016.
  7. а б Weisstein, Eric W. «Differential Operator.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Differential Operator. Архів оригіналу за 21 січня 2016. Процитовано 7 лютого 2016.
  8. Weisstein, Eric W. «Repeated Integral.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Repeated Integral. Архів оригіналу за 1 лютого 2016. Процитовано 7 лютого 2016.
  9. Позначення Ньютона взяті з:
    • 1st to 5th derivatives: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: Newton Papers : On the Quadrature of Curves. Архів оригіналу за 28 лютого 2016. Процитовано 5 лютого 2016.).
    • 1st to 7th, nth and (n+1)th derivatives: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 313—318 and p. 265 (p. 163 in original MS: Newton Papers : Fluxions. Архів оригіналу за 6 квітня 2017. Процитовано 5 лютого 2016.)
    • 1st to 5th derivatives : A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
    • 1st to 4th and nth derivatives: Articles «Differential» and «Fluxion», Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814)
    • 1st to 4th, 10th and nth derivatives: Articles 622, 580 and 579 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
    • 1st to 6th and nth derivatives: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691—1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp.88 and 17
    • 1st to 3rd and nth derivatives: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
    The dot for nth derivative may be omitted ()
  10. Weisstein, Eric W. «Overdot.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Overdot. Архів оригіналу за 5 вересня 2015. Процитовано 5 лютого 2016.
  11. Weisstein, Eric W. «Double Dot.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Double Dot. Архів оригіналу за 3 березня 2016. Процитовано 5 лютого 2016.
  12. Стаття 580 в Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), Dover Publications, Inc. New York. ISBN 0-486-67766-4
  13. «Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century», Archive for History of Exact Sciences Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361—362,378
  14. S.B. Engelsman has given more strict definitions in Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation (2000), pp. 223—226
  15. Позначення Ньютона для інтегрування взяті з:
    • 1st to 3rd integrals: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r in original MS: Newton Papers : On the Quadrature of Curves. Архів оригіналу за 28 лютого 2016. Процитовано 5 лютого 2016.)
    • 1st to 3rd integrals: Method of Fluxions (Newton, 1736), pp. 265—266 (p. 163 in original MS: Newton Papers : Fluxions. Архів оригіналу за 6 квітня 2017. Процитовано 5 лютого 2016.)
    • 4th integrals: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 and 72
    • 1st to 2nd integrals: Articles 622 and 365 in A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
    The nth integral notation is deducted from the nth derivative. It could be used in Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
  16. Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (вид. 2). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC 682907530.