Ряд (математика)

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків д'Аламбера Радикальна Інтегральна Пряме порівняння Порівняння границь Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.

Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

• Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
• Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду.

Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.

У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання $a_{i}$ між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел або полем $\mathbb {C}$ комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.

Визначення

Нехай  $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — послідовність; розглянемо також послідовність

$\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$

Тоді, за визначенням:

• Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя $S$ послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

$S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},$

Ознаки збіжності

Необхідні умови збіжності

Теорема 01

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то кінцевий член ряду

$a_{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Дійсно, оскільки $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, $n\geqslant 2$ та $S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R}$, $n\rightarrow \infty$, то $a_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теорема 02

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то залишок ряду

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Критерій Коші

Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

$\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n\geqslant N\;\forall p\in \mathbb {N} \colon \quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$.

$\vartriangleright$ Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$. $\vartriangleleft$

Критерій абсолютної збіжності

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Операції над рядами

Нехай задано два збіжні ряди $a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ та $b=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$. Тоді:

• Їхньою сумою називається ряд $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})$ і його сама рівна $a+b$.
• Їхнім добутком за Коші називається ряд $\sum c_{n}$, де $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Приклади числових рядів

Приклад 01. Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$

$1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots$

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_{n}=1\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ у випадку ряду (1) та $a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Доведемо, що

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+\cdots =1$

$\vartriangleright$ Дійсно, для $n\geqslant 1$

$S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+\cdots +({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}})=1-{\frac {1}{n+1}}$.

Отже, $S_{n}\rightarrow 1$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

• Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

Загалом геометричний ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}$

збігається тоді й тільки тоді, коли ${\textstyle |z|<1}$.

• Арифметично-геометричний ряд — це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:

$3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.$

• Гармонічний ряд — це ряд виду

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02 $S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\geqslant n{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$.

• Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad$ (знакозмінний гармонічний ряд)

і

$-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}$

• Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.

• Телескопічний ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

збігається, якщо послідовність b_n збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b₁ − L.

π

Апроксимація числа π за допомогою ряду

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi$

Натуральний логарифм 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2$

Натуральний логарифм за основою e

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$

Література

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Ряди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 496. — 594 с.
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)