Знакопереміжний ряд

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n},\quad b_{n}>0$.

Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є збіжним тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною.

Приклади

Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ $\cdots$ є збіжним до 1/3.

Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд  — ні.

Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).$

Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$, та

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт $(-1)^{n}$, то отримаємо гіперболічні функції $sh$ і $ch$, що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу $\alpha$ функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },$

де $\Gamma (z)$ — це гамма-функція.

Якщо $s$ — комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots ,$

що використовується в аналітичній теорії чисел.

Ознака Лейбніца

Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

$S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\quad \ b_{n}\geq 0$,

для якого виконуються такі умови:

1. $b_{n}\geq b_{n+1}$, починаючи з деякого номера ($n\geq N$),
2. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0.$

Тоді такий ряд збігається.

Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}$ збігається).

Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).

Доведення

Розглянемо дві послідовності часткових сум ряду $R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}$ и $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}$.

Перша послідовність не спадає: $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$ за першою умовою.

За тією ж умовою друга послідовність не зростає: $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$.

Друга послідовність мажорує першу, тобто $L_{n}\geq R_{m}$ для довільних $m,n\in \mathbb {N}$. Дійсно,

при $m\geq n$ маємо: $L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,$

при $m\leq n$ маємо: $L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.$

Отже вони обидві збігаються як монотонні обмежені послідовності.

Залишилося зауважити, що: $\lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0$, тому вони збігаються до спільної границі $S$, яка і є сумою початкового ряду.

Попутно ми показали, що для будь-якої часткової суми ряду $S_{n}$ є оцінка $|S-S_{n}|<b_{n+1}$.

Приклад

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\;$. Ряд з модулів має вигляд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ — це гармонічний ряд, який розбігається.

Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:

1. знакопереміжність виконано;
2. ${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}},\;\forall \;n$;
3. $\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}=0$.

Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).

Оцінка залишку ряду Лейбніца

З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.$

Залишок збіжного знакопереміжного ряду $R_{n}=S-S_{n}$ буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

$\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.$

Доведення

Послідовність $S_{2k}$ монотонно зростає, оскільки $S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},$ а вираз $b_{2i-1}-b_{2i}$ невід'ємний за будь-якого цілого $i$. Послідовність $S_{2k-1}$ монотонно спадає, оскільки $S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),$ а вираз у дужках невід'ємний. Як вже доведено під час доведення самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей — $S_{2k}$ і $S_{2k-1}$ — однакова границя при $k\to +\infty .$ Так отримано $S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}$ і також $s\leqslant S_{2k+1}.$ Звідси $0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}$ і $0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.$ Отже, для будь-якого $k$ виконується $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1}$, що й потрібно було довести.

Знакозмінний ряд

Знакопереміжі ряди також іноді називають знакозмінними, проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

Наближені суми

Наведена вище оцінка не залежить від $n$. Отже, якщо {$a_{n}$} монотонно збігається до $0$, то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:

$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.$

Абсолютна збіжність

Ряд $\sum a_{n}$ абсолютно збіжний, якщо ряд $\sum |a_{n}|$ — збіжний.

Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Доведення

Припустимо, що ряд $\sum a_{n}$ абсолютно збіжний. Тоді, $\sum |a_{n}|$ є збіжним, і з цього випливає, що $\sum 2|a_{n}|$ також збіжний. Оскільки $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$, тоді ряд $\sum (a_{n}+|a_{n}|)$ є збіжним за ознакою порівняння рядів. Тому $\sum a_{n}$ є збіжним як різниця двох збіжних рядів $\sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|$.

Умовна збіжність

Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, гармонічний ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!$

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!$

збігається за ознакою Лейбніца.

Перестановки

Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності. Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що $1=0$, використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, як відомо

$\ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .$

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для ${\frac {1}{2}}\ln(2)$:

${\begin{aligned}&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}$

Прискорення збіжності ряду

Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

Див. також

• Ознака Діріхле — узагальнення ознаки Лейбніца
• Ряд Гранді
• Інтеграл Норлунда–Райса

Література

• Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М. : МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 800 прим. — ISBN 5-7417-0147-7.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
• Weisstein, Eric W. Alternating Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.